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Aufgabe:

Screenshot_20220521-194852.jpg

Text erkannt:

Gegeben ist die Ebene E: \( \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \).
a) Prüfen Sie, ob die Punkte \( \mathrm{A}(3|2| 1), \mathrm{B}(1|4| 2) \) und \( \mathrm{C}(-1|2| 3) \) in \( \mathrm{E} \) liegen.
b) Für welchen Wert des Parameters a liegen die Punkte \( \mathrm{D}(\mathrm{a}|\mathrm{a}+3| 3) \) bzw. \( \mathrm{F}(\mathrm{a}|2 \mathrm{a}| 3) \) in \( \mathrm{E} \) ?
c) Kann der Punkt \( P(a|-a| 2 a+2) \) in E liegen?



Problem/Ansatz:

Mir geht es um die Aufgabe c)

Der besagte Punkt mit dem Parameter a muss für den X-Vektor in die Ebenengleichung eingesetzt werden und dann durch ein LGS gelöst werden.

Hier habe ich Probleme und komme auf keine Lösungen, da ich nicht weiß wie ich an s oder a komme, nachdem ich r = -3/2 bestimmte (Gleichung 1+2). Durch einsetzen von r in eine der anderen Gleichungen komme ich an keine Lösung, weil 2 Parameter Gesucht sind (a+s) und ich nur r habe.

Würde mich über einen Zielführenden Rechenweg freuen

von

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Beste Antwort

Aloha :)

Die ganze Aufgabe ließe sich sehr einfach erledigen, wenn du die Ebenengleichung zuerst aus der Parameterform mit \(r\) und \(s\) in die sog. Koordinatenform umschreiben würdest.

Ich vermute, dass ihr das Vektorprodukt noch nicht eingeführt habt, daher machen wir diese Umformung ausführlich:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+r-s\\1+r+s\\1+s\end{pmatrix}$$

Die letzte Gleichung lautet \((z=1+s)\), also ist \((s=z-1)\). Das setzen wir ein:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+r-(z-1)\\1+r+(z-1)\\1+(z-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+r-z\\r+z\\z\end{pmatrix}$$

Die mittlere Gleichung lautet \((y=r+z)\), also ist \((r=y-z)\). Das setzen wir ein:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+(y-z)-z\\(y-z)+z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+y-2z\\y\\z\end{pmatrix}$$Die beiden letzten Gleichungen sind klar, die wichtige Information steckt in der verbliebenen ersten Gleichung, also in \((x=3+y-2z)\). Die schreiben wir etwas um:$$\boxed{E\colon\;x-y+2z=3}$$

Jetzt prüfen wir, ob der Punkt \((a|-a|2a+2)\) in der Ebene liegt:$$x-y+2z=a-(-a)+2(2a+2)=6a+4\stackrel!=3\implies a=-\frac16$$

Für \(a=-\frac16\) liegt der Punkt in der Ebene, für alle anderen \(a\) nicht.

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[2, 1, 1] + r·[1, 1, 0] + s·[-1, 1, 1] = [a, -a, 2·a + 2] --> a = - 1/6 ∧ r = - 3/2 ∧ s = 2/3

Der Punkt liegt für a = - 1/6 in der Ebene.

Gleichungssystem

r - s - a = - 2
r + s + a = - 1
s - 2·a = 1

II - I ; III

2·s + 2·a = 1
s - 2·a = 1

II + I

3·s = 2 → s = 2/3

Rückwärts auflösen

(2/3) - 2·a = 1 --> a = - 1/6

r + (2/3) + (- 1/6) = - 1 --> r = - 3/2

von 445 k 🚀
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Durch einsetzen von r in eine der anderen Gleichungen komme ich an keine Lösung

Durch einsetzen von r in beide anderen Gleichungen bekommst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.

Löse dieses Gleichungssystem.

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