Beweis der Irrationalität

Question

Aufgabe:

Beweis der Irrationalität

Problem/Ansatz:

Beweisen sie, dass \( \sqrt{5} \) irrational ist.

Answer 1

Seien p, q ganze teilerfremde Zahlen mit (p/q)² = 5.

Dann ist p² = 5q², also ist p² durch 5 teilbar. Somit ist auch p durch 5 teilbar.

Sei p = 5r. Dann ist (5r)² = 5q² , also auch q² = 5r² und damit ist q² durch 5 teilbar. Somit ist auch q durch 5 teilbar.

Das ist ein Widerspruch zu der Forderung, dass p und q teilerfremd sind.

Answer 2

Nehmen wir an, dass

\( \sqrt{5} \) eine rationale Zahl \( \frac{p}{q} \) ist und, dass dieser Bruch schon gekürzt wurde, so dass p, q teilerfremd sind. Dann gilt

\( \sqrt{5} \) = \( \frac{p}{q} \)

Also auch

$$5=\frac{p^2}{q^2} $$ oder $$5*q^2=p^2$$$$5 | p^2$$ wenn das so ist, dann gilt auch$$ 25 | p^2$$ es existiert also ein p_1, so dass $$p^2=25p_1^2$$$$5q^2= 25 p_1^2$$$$q^2= 5 p_1^2$$$$5 | q^2$$ wenn das so ist, dann gilt auch$$ 25 | q^2$$ es existiert also ein q_1, so dass $$q^2=25q_1^2$$$$25q_1^2= 5 p_1^2$$$$5q_1^2= p_1^2$$$$5=\frac{p_1^2}{q_1^2} $$$$\sqrt{5} =  \frac{p_1}{q_1} $$

Dies aber ist ein Widerspruch zu unserer Annahme, dass p, q teilerfremd sind.