Beweis für die Existenz einer inversen Matrix

Question

Hallo (:

Ich habe folgendes Problem:

Ich habe eine Matrix \(A\) = \((α_{1}, α_{2}, α_{3})\) und eine Matrix \(A^{|}\) = \((α_{2}, α_{3}, α_{1})\) gegeben mit \(α \in R^{3}\). (Also lediglich die Reihenfolge der Einträge vertauscht, wenn ich das richtig verstehe...)

Für die Matrix \(A\) existiert eine inverse Matrix \(A^{-1}\).
Ich soll nun zeigen, dass aus der Existenz von \(A^{-1}\) die Existenz für \(A^{|  -1}\), also der Inversen für die zweite Matrix, folgt.

Ich weiß wie ich die Inverse einer Matrix berechnen kann, aber hier finde ich einfach keinen Ansatz. Wie kann ich das "zeigen"?

Vielen Dank schonmal...

Answer 1

Hallo max,

wegen der Existenz von A^-1 ist der Wert der Determinante ≠ 0

Jede Spaltenvertauschung bei der Determinante ändert nur das Vorzeichen ihres Werts. Also ist der Determinantenwert von A' ebenfalls ≠ 0. Deshalb existiert A' ^-1

Gruß Wolfgang

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Vielen Dank!

Answer 2

Hallo,

eine Matrix \( A \in K^{n \times n} \) ist genau dann invertierbar, wenn \( \text{rang} \, A = n \), d.h. wenn die Spalten von \(A \) linear unabhängig sind.

Wenn nun \( A \) invertierbar ist, dann sind also \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb{R}^3 \) linear unabhängig. Daraus folgt eigentlich schon, dass \( A^{\mid} \) invertierbar ist.

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Dankeschön (: