(1003)^{1/3} soll mit 7 korrekten Dezimalstellen bestimmt werden

Question

Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie ³√1003 mit 7 korrekten Dezimalstellen

Dies ist die dritte Teilaufgabe aus einer Übung. Die ersten beiden Teilaufgaben lauten: Gegeben sie g(x) = ³√(1+x)

(a)Bestimmen Sie das Taylor-Polynom der Ordnung 2 von g(x) um den Ursprung

(b)Zeigen Sie, dass x ≥0, | R₃(x) | ≤ 5x³/81

Mein Vorgehen:

1) eine Zahl möglichst nahe bei 1003 suchen, von der ich die 3. Wurzel kenne: 1000

2) ³√1000 = 10 -> 1003 = 1000(1003/1000)  -> ³√1003 = 10 ³√(1 + 3/1000)

So erhalte ich die Form ³√(1+x). 

Nun weiss ich, dass 3/1000 das x ist. Ich setze es in 5x³/81 ein, was ich in (b) bereits bewiesen habe. 

5(3/1000)³/81 = 0.000000002 (ich hoffe bis hier hin stimmt es)

Nun wie muss man weiter fahren? Was will mir diese kleine Zahl sagen und wie kann ich nun ³√1003 auf 7 Dezimalstellen genau bestimmen (ohne Rechner)? (btw unser Thema ist Taylor-Formel, Taylor-Polynom)

Answer 1

Du musst das auch in dein Taylor-Polynom einsetzen

p(x) = - x^2/9 + x/3 + 1

1003^{1/3}

= 10·(1 + 3/1000)^{1/3}

= 10·p(3/1000)

= 10·(- (3/1000)^2/9 + (3/1000)/3 + 1) = 10.00999