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Beweisen Sie die folgende Ungleichung für alle \( x \geq 0 \) mit Hilfe der Taylorformel mit Restglied:

\( \sqrt{1+x} \leq 1+\frac{x}{2} \)

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Hi,

da es bisher keine Antwort gibt, zumindest Taylorpolynom und Restglied:

f(x) = (1+x)^{1/2}

f'(x) = 1/2(1+x)^{-1/2}

f''(x) = -1/4(1+x)^{-3/2}

f'''(x) = 3/8(1+x)^{-5/2}

f''''(x) = -15/16(1+x)^{-7/2}

 

T = 1+1/2x (-1/8x^2+1/16x^3-...)

 

R1 = -1/4 * 1/2! * (1+ξ)^{-3/2} = -1/8(1+ξ)^{-3/2}

 

Ich bin mir nicht mehr ganz bewusst, wie man mit dem ξ umzugehen hat. Ich glaube das musste man abschätzen. Das Restglied wird aber wohl nichtpositiv bleiben, weswegen man 1+1/2x-δ hat, und man damit ≤1+1/2x ist ;).

 

Grüße

Avatar von 140 k 🚀
Das ist doch die Antwort die du gibst oder o.o
Ja, das wäre die Antwort, die ich geben würde. In der Argumentation bzgl dem Restglied etwas schwach, wenn man es aber selbstbewusster formuliert, müsste das sogar reichen ;).
1+1/2x-δ das Zeichen nach dem 1/2x ist das das ein Zeichen für das taylorpolynom ? Das x steht doch im Nenner oder?
Nein, x steht im Zähler:

1+1/2*x und δ ist iwas. Es wird iwas abgezogen (und nicht addiert)

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