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1 Beim Lösen von Differentialgleichungen verwendet man gerne komplexwertige Größen. Wie müssen die Konstanten \( c_{1}, c_{2} \in \mathbb{C} \) gewählt werden, damit
$$ c_{1} e^{i \omega t}+c_{2} e^{-i \omega t}=a \cos (\omega t)+b \sin (\omega t) $$
wobei \( a, b, \omega \in \mathbb{R} . \)
2 Die Ausbreitung von Wellen im dreidimensionalen Raum wird durch die Differentialgleichung
$$ \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-\Delta u=0 $$
beschrieben, wobei \( c \) die Phasengeschwindigkeit der Welle ist und \( \triangle:=\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{3}^{2}} \) der LaplaceOperator. Zeigen Sie, dass
$$ u(t, \vec{x})=A e^{i(\vec{k} \cdot \vec{x}-\omega t)} $$
mit \( \omega=c|\vec{k}| \) eine Lösung der Wellengleichung ist. Hierin ist \( \vec{k} \) der Wellenzahlvektor und \( \omega \) die Kreisfrequenz der Welle. Das Euklidische Skalarprodukt \( \vec{k} \cdot \vec{x} \) ist durch
$$ \vec{k} \cdot \vec{x}:=k_{1} x_{1}+k_{2} x_{2}+k_{3} x_{3} $$
definiert. Die in ( 1 ) angegebene Lösung ist ein Spezialfall einer sogenannten ebenen Welle. Was ist daran eben?
(Siehe dazu auch https://de.wikipedia.org/wiki/Ebene_Welle.)
3 Betrachten Sie nun die durch
$$ w(\vec{r}, t)=\frac{A \cdot e^{i(k r-\omega t)}}{r} $$
definierte Welle, wobei \( k, \omega \in \mathbb{R} \) und \( r=|\vec{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \). Wie sehen die Wellenfronten (Punkte gleicher Phase) dieser Welle aus?
Könnte mir jemand vielleicht ein Paar Tipps geben wie ich das angehen soll?
Ich kenne mich mit Differentialgleichungen nicht so gut aus.
