Question

Bestimmen Sie den maximalen Abstand eines Punktes der Ellipse mit der Gleichung G(x,y)=36x²+196y²=7056 vom Punkt (x₀,y₀)=(0,−8)

Numerische Eingabe mit 4 Stellen Genauigkeit nach dem Komma

Es würde mir erst einmal genügen, wenn mir einer die Lagrange Funktion aufstellen könnte (mit Erklärung bitte). Der Rest sollte dann hoffentlich klappen.

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Okay, ich komme jetzt auf

lambda=-1/36

y=1,8

x=14,6141

Was muss ich dann jetzt für "x_max=+-....." aufschreiben?

Answer 1

Hallo,

Zu maximieren ist der Abstand zu einem gegebenen Punkt $(0,\,-8)$ $$d = \left| (x,\,y) - (0,\,-8))\right| \to \max$$bzw.: $$d^2 = \left((x,y) - (0,\,-8)\right)^2 = x^2 + (y+8)^2 \to \max$$Mit der Nebenbedingung$$36x^{2}+196y^{2}-7056 = 0$$Das gibt die Lagrange-Funktion und deren Ableitungen$$\begin{aligned}L (x,\,y,\ \lambda) &= x^2 + (y+8)^2 + \lambda(36x^{2}+196y^{2}-7056) \\ \frac{\partial L}{\partial x} &= 2x + 72x\lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} &= 2(y+8) + 392 y\lambda = 0 \\ 49xy &= 9(y+8)x &&|\, x=0\\ 49y &= 9y + 72 \\ 40y &= 72\\ 5y &= 9 \\ y &= \frac 95 \\ \end{aligned}$$Die beiden Lösungen $x=0$ und $y=9/5$ kann man nun in die Nebenbedingung einsetzen. Relevant ist nur $y=9/5$$$\begin{aligned}36x^{2}+196\left( \frac 95\right)^{2} &=7056 \\ 36 \cdot 25 x^2 &= 7056 \cdot 25 - 196 \cdot 81 = 160524 \\ 25 x^2 &= 4459 \\ x_{1,2} &= \pm \frac 75 \sqrt{91}\end{aligned}$$Und damit ergibt sich ein maximaler Abstand $$d = \sqrt{x^2 + (y+8)^2} = \frac 15 \sqrt{6860} \approx 16,5650$$Das ganze im Bild:

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Okay, vielen Dank, hat gepasst :) sehr schön, ausführlich und verständlich erklärt.

Answer 2

Punkt (x;y) hat von (0,−8) den Abstand d(x,y)=√( (x-0)² + (y-(-8)² )

Allerdings ist der maximal, wenn der Term ohne Wurzel maximal ist, also

z(x,y) = x² + (y+8)² = x² + y² + 16y + 64  soll maximal sein

mit der Nebenbedingung : (x,y) auf der Ellipse, also 36x2+196y2=7056

bzw  36x²+196y²-7056=0

==>   L(x,y ,λ) =  x² + y² + 16y + 64  +  λ(36x²+196y²-7056)

sieht so aus Plotlux öffnen

f₁(x) = √(36-9·x²/49)f₂(x) = -√(36-9·x²/49)Zoom: x(-15…15) y(-10…10)

Answer 3

Die Ellipsengleichung kann man auch schreiben als

y = -3/7 sqrt(196 - x²)

und der Abstand ergibt sich nach Pythagoras als

$\sqrt{x^{2}+\left(-\frac{3}{7} \sqrt{196-x^{2}}+8\right)^{2}}$

Mein Maximum in Dezimalschreibweise ist ≈ 16,1245154965971 bei x = ± 14.

(Da habe ich mich vertan, Korrektur weiter unten in einem Kommentar von mir).

Comments

Ich komme für x auf 14.6164...

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Ich komme für x auf 14.6164...

Liegt das auf der Ellipse?

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@döschwo:

Bist du dir da sicher ?

mfG

Moliets

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So wie die Ellipse geplottet ist, liegt das nicht auf der Ellipse... und nein, sicher bin ich mir natürlich nicht :(

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Text erkannt:

Ohne Lagrange:
1. $) 36 x^{2}+196 y^{2}=7056$
2. $) x^{2}+(y+8)^{2}=r^{2} \rightarrow x^{2}=r^{2}-(y+8)^{2} \in 1 .$
$36 \cdot\left[r^{2}-(y+8)^{2}\right]+196 y^{2}=7056$
Wolfram
$r=14 \sqrt{\frac{7}{5}} \approx 16,56502$
$y=\frac{9}{5}$
$x=\ldots$

mfG

Moliets

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Bist du dir da sicher ?

@Moliets   Ich habe meinen Fehler gefunden. Das -3/7 soll 3/7 sein, weil man vom Punkt (0, -8) aus ja zur oberen Hälfte der Ellipse will.

Answer 4

Weg über das implizite Differenzieren:

$e(x,y)=36x^2+196y^2-7056$ vom Punkt P$(0|−8)$

$e_x(x,y)=72x$

$e_y(x,y)=392y$

$e'(x)=-\frac{e_x(x,y)}{e_y(x,y)}=-\frac{9x}{49y}$

Kreis um P$(0|−8)$:

$k(x,y)=x^2+(y+8)^2-r^2$

$k_x(x,y)=2x$

$k_y(x,y)=2(y+8)$

$k'(x)=-\frac{x}{y+8}$

Im Schnittpunkt müssen die Tangentensteigungen gleich sein:

$-\frac{9x}{49y}=-\frac{x}{y+8}$

$y=\frac{9}{5}$ einsetzen in   e $36x^2+196y^2=7056$:

$36x^2+196\cdot \frac{81}{25}=7056$

$x_1=\frac{7}{5}\sqrt{91}$

$x_2=-\frac{7}{5}\sqrt{91}$

Maximaler Abstand:

k: $(\frac{7}{5}\sqrt{91})^2+(1,8+8)^2=r^2$

$274,4=r^2$

$r=16,565$