lineares gleichungssystem Ax=b

Question

     1   1   1                1

A= 1   3   1       b=     3

     1   3   3                2

Hat das Gleichungssystem BA \( \vec{x} \) = B\( \vec{b} \) die gleiche Lösungsmenge wie A \( \vec{x} \) = \( \vec{b} \), sofern B die folgende Matrix ist?
B = 1   1   1

       1   3   3

Answer 1

Ax=b ist ein lgs mit 3 gleichungen und 3 unbekannten x

BAx=Bb ist ein lgs mit 2 gleichungen und 3 unbekannten x, eine unbekannte bleibt unbestimmt.

also sind die lösungen verschieden

Answer 2

Hallo,

Die Lösung für \(A \vec x = \vec b\) ist in Deinem konkreten Fall$$\mathbb L = \left\{ \begin{pmatrix}0,5\\ 1\\ -0,5\end{pmatrix} \right\}$$Multipliziert man die Gleichung mit der Matrix \(B\) 'weichst' Du das System auf. Die Lösungsmenge ist dann $$\mathbb L' = \left\{ \vec x \in \mathbb R^3, \space t \in \mathbb R\mid \space \vec x = \begin{pmatrix}0,5\\ 1\\ -0,5\end{pmatrix}  + \begin{pmatrix}1\\ 1\\ -2\end{pmatrix} t\right\}$$D.h. \(\mathbb L\) ist ein Untermenge von \(\mathbb L'\)

Comments

Den 1. Schritt kann ich nachvollziehen, aber wenn ich Vektor \( \vec{b} \) mit Matrix B multipliziere, bekomme ich \( \begin{pmatrix} 6 \\ 16 \end{pmatrix} \) raus..

---

Den 1. Schritt kann ich nachvollziehen, aber wenn ich Vektor \( \vec{b} \) mit Matrix B multipliziere, bekomme ich \( \begin{pmatrix} 6 \\ 16 \end{pmatrix} \) raus..

das ist auch richtig! Dieser Vektor ist aber nicht die Lösung sondern nur die rechte Seite eines neuen LGS: $$\begin{aligned} BA \vec x &= B \vec b\\ \begin{pmatrix}3& 7& 5\\ 7& 19& 13\end{pmatrix} \cdot \vec x &= \begin{pmatrix}6\\ 16\end{pmatrix}\end{aligned}$$Multipliziere nun zur Probe, den Vektor \(\begin{pmatrix}0,5\\ 1\\ -0,5\end{pmatrix}\) mit der Matrix links:$$\begin{pmatrix}3& 7& 5\\ 7& 19& 13\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0,5\\ 1\\ -0,5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 16\end{pmatrix}$$D.h. dieser Vektor erfüllt die Gleichung und ist somit schon mal Teil der Lösung ... und der 'Richtungsvektor' aus \(\mathbb L'\) $$\begin{pmatrix}3& 7& 5\\ 7& 19& 13\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\ 1\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}$$liefert immer den 0-Vektor. Man kann also beliebige Vielfache von \(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ -2\end{pmatrix}\) zu \(\begin{pmatrix}0,5\\ 1\\ -0,5\end{pmatrix}\) hinzu addieren und bekommt nach der Multiplikation immer die selbe rechte Seite.

\(\mathbb L'\) ist also die Lösungsmenge für das Gleichungssystem nach der Multiplikation mit \(B\).