Zeigen Sie, dass ein Fallschirmspringer, der momentan t0=0 mit einer Geschwindigkeit von u0=6 \mathrm{~m} / …

Question

Aufgabe:Zeigen Sie, dass ein Fallschirmspringer, der momentan t0 = 0 mit einer Geschwindigkeit von
u0 = 6 m/s fällt, seinen Fallschirm zwei Sekunden vorher noch nicht geöffnet haben konnte.

Problem/Ansatz:

Die Geschwindigkeit eines Fallschirmspringers mit geöffnetem Fallschirm lässt sich durch die
Differentialgleichung

$u^{\prime}(t)=g-c(u(t))^{2}, \quad g=9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \quad c=0.3 \mathrm{~m}^{-1}$

modellieren. Zeigen Sie, dass ein Fallschirmspringer, der momentan $t_{0}=0$ mit einer Geschwindigkeit von $u_{0}=6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ fällt, seinen Fallschirm zwei Sekunden vorher noch nicht geöffnet haben konnte.

Answer 1

Hallo

du musst die Dgl  wohl lösen, Trennung der Variablen, Partialbruchzerlegung .  die Anfangsbedingung  einsetzen und dann u(0)=6m/s einsetzen um die Integrationskonstante zu bestimmen und dann t=-2s einsetzen

Gruß lul

Answer 2

$$u(t)=\sqrt{ \frac{g}{c}} tanh(\sqrt{ (\frac{c}{g}})(t+2)$$

Ich bin nicht drauf gekommen, doch siehe mal hier

https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.eth…

Comments

Wahrscheinlich soll das $u(t)$ und nicht $u'(t)$ heissen, oder? Aber dann würde gelten $$u(0) = 0$$ Es soll aber $u(0) = 6$ gelten.

---

@ullim

Ich denke, u(t) ist die Geschwindigkeit

u'(t) ist die Beschleunigung

Zum Zeitpunkt t=0, wirkt nur die Beschleunigung g

Diese ist von der Zeit unabhängig.

---

Ja $u(t)$ ist die Geschwindigkeit. Du hast aber eine Formel für $u'(t)$ hingeschrieben, aslo für die Beschleunigung und die soll proportinal zum $\tanh()$ sein. Das ist denke ich falsch. Deshalb die Annahme das Du dich verschrieben hast.

Steht auch so in dem Papier, dass Du dazu verlinkt hast.

---

Du hast recht und wenn man dort für t den Wert 2 einsetzt, bekommt man 5,72 s raus. Wenn die Geschwindigkeit dort 6 sein soll, dann wurde der Fallschirm später geöffnet. Wenn dort aber die Zeitrechnung beginnen soll, dann muss statt t ein t+2 geschrieben werden denke ich zumindest auf die Schnelle. Ich hätte es wohl besser in den Kommentar geschrieben, denn dass ich es mal gemacht habe ist lange her.

Vielleicht schreibt ja noch jemand anderes eine Antwort.

Doch vorläufig ändere ich es.

Vielen Dank nochmal.

---

Wenn man in die Lösung die Anfangsbedingung einarbeitet sieht man, das Deine Lösung nur für den Fall $$| u_0 | < \sqrt{ \frac{ g }{ c } }$$ richtig ist. Das trifft hier aber nicht zu.

---

Danke, dass du durch deine Antwort ein Licht hast aufflammen lassen. Ob mein Hinweis der Funke dafür war, kannst nur du beantworten.

Answer 3

Nach Trennung der Variablen und Substitution von $v = \sqrt{ \frac{c}{g } }$ kann die Dgl. wie folgt geschrieben werden

$$(1) \quad \frac{1}{ \sqrt{g c} } \frac{ dv }{ 1 - v^2 } = dt$$

Integration beider Seiten ergibt für $|u| < \sqrt{ \frac{g}{c} }$

$$(2) \quad \frac{1} { \sqrt{g c} } \tanh^{-1} \left( \sqrt{ \frac{c}{g} } u \right) = t + C_1 \text{ für } |u| < \sqrt{ \frac{g}{c} }$$

oder

$$(3) \quad \frac{1} { \sqrt{g c} } \coth^{-1} \left( \sqrt{ \frac{c}{g} } u \right) = t + C_2 \text{ für } |u| > \sqrt{ \frac{g}{c} }$$

Falls $u(0) = u_0$ gilt, folgt für die Integrationskonstanten aus (2) und (3) direkt

$$(4) \quad C_1 = \frac{1} { \sqrt{g c} } \tanh^{-1} \left( \sqrt{ \frac{c}{g} } u_0 \right) \text{ für } |u_0| < \sqrt{ \frac{g}{c} }$$ und

$$(5) \quad C_2 = \frac{1} { \sqrt{g c} } \coth^{-1} \left( \sqrt{ \frac{c}{g} } u_0 \right) \text{ für } |u_0| > \sqrt{ \frac{g}{c} }$$

Das zusammengesetzt ergibt die Lösungen $u(t)$ für die beiden Fälle

$$(6) \quad u(t) = \sqrt{ \frac{ g }{ c } } \tanh \left[ \sqrt{ g c } t + \tanh^{-1} \left( \sqrt{ \frac{c}{g} } u_0 \right) \right] \text{ für } |u_0| < \sqrt{ \frac{g}{c} }$$

und

$$(7) \quad u(t) = \sqrt{ \frac{ g }{ c } } \coth \left[ \sqrt{ g c } t + \coth^{-1} \left( \sqrt{ \frac{c}{g} } u_0 \right) \right] \text{ für } |u_0| > \sqrt{ \frac{g}{c} }$$

Da hier $u_0 > \sqrt{ \frac{g}{c} }$ gilt, ist die Lösung der Dgl. die Gleichung für $u(t)$ in (7)

Die Frage ist jetzt, kann ich $u_0$ so wählen, s.d. $u(2) = 6$ gilt?

(7) nach $u_0$ aufgelöst ergibt mit $u_1 = 6$ und $t_1 = 2$

$$u_0 = \sqrt{ \frac{g}{c} } \coth \left[ \coth^{-1} \left( \sqrt{ \frac{c}{g} } u_1 \right) - \sqrt{ g c } t_1 \right] = -6.239$$

Da eine negative Geschwindigkeit nicht zulässig ist, ist es also nicht möglich, dass der Fallsschirm 2 Sekunden vorher geöffnet wurde.

Fragt man hingegen, ob der Schrim eine Sekunde vorher geöffnet werden konnte, ergibt sich ein $u_0$ von $u_0 = 38.744 \text{ m/s}$. D.h. dieser Fall wäre durch aus möglich.