Integration einer Nutzenfunktion mit Fallunterscheidungen

Question

in meiner Hausarbeit analysiere ich ein Handelsmodell (s. unten).
Mein Problem besteht darin, eine Nutzenfunktion (u^B) mit Fallunterscheidungen über eine zweidimensionale Zufallsvariable ω=(ω^B ,ω^S) zu integrieren. Würde mich freuen, wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte.

Modell: Betrachtet wird die Beziehung zwischen einem Käufer (B) und einem Verkäufer (S), der ein Gut verkauft. Die Parteien schreiben einen Vertrag zum Zeitpunkt 0, der die Handelspreise spezifiziert, zu denen das Gut zum Zeitpunkt 2 gehandelt werden kann. Wird das Gut gehandelt, zahlt der Käufer p₀+k an den Verkäufer. Beim Nichthandel zahlt der Käufer nur p₀.  Zwischen den Zeitpunkten 0 und 1 tätigen beide Parteien Investitionen b und s. Diese verursachen private Kosten K^B(b) und K^S(s). Zum Zeitpunkt 1 realisiert sich die stetige zweidimensionale Zufallsvariable ω=(ω^B ,ω^S)∈[0,1]², welche die Zahlungsbereitschaft des Käufers v=v(ω^B,b) (stetige Zufallsvariable) und die Produktionskosten des Verkäufers c=c(ω^S,s) (stetige Zufallsvariable) beinflusst. Die stetige gemeinsame Dichtefunktion ist gegeben mit f(ω)=(ω^B,ω^S). Aus f(ω) ergeben sich die Randdichten f^B(ω^B)=\( \int\limits_{0}^{1} \)f(ω)dω^S und f^S(ω^S)=\( \int\limits_{0}^{1} \)f(ω)dω^B. Zwischen Zeitpunkt 1 und 2 können beide Partein den alten Vertrag nachverhandlen (nicht relevant für meine Frage). Handel ist effizient, wenn v≥c. Im Rahmen des alten Vertrags wird der Verkäufer nur bereit sein zu handeln, wenn k>c. Der Nutzen des Käufers zum Zeitpunkt 2 ist gegeben mit:

u^B=-K^B(b)-p₀+\( \begin{pmatrix} 0 & wenn & k<c & und & v<c \\ v-c & wenn & k<c &und & v≥c\\ c-k & wenn & k>c &und &v<k \\ v-k & wenn& k>c &und &v≥c\end{pmatrix} \)

Aufgabe:

Um den erwarteten Nutzen U^B zu bestimmen, muss man u^B über die Zufalls variablen ω^B und ω^S integrieren, weil die v und c bestimmen, und somit beeinflussen welcher Fall eintritt. Folglich suchen wir hier E_v,c[max{0,v-c,c-k,v-k}]-K^B(b)+p₀. Der letzte Term taucht im Erwartungswert auf, weil diese Zahlungen/Kosten in jedem Fall auftreten. Der erwartete Nutzen U^B ist gegeben mit:

U^B=\( \int\limits_{0}^{1} \) \( \int\limits_{0}^{1}\) [v(ω^B,b)-c(ω^S,s)]⁺f(ω)dω^Bdω^S-\( \int\limits_{0}^{1} \) [k-c(ω^S,s)]⁺f^S(ω^S)dω^S-K^B(b)+p₀.

Note: Hier gilt [•]⁺=max{0,•}

Die ersten beide Terme von u^B beschreiben den Erwartungswert von den vier möglichen zusätzlichen Auszahlungen. Betrachtet man z.B. den Fall k<c mit v≥c, dann folgt aus dem Integral genau die t=2 Auszahlung v-c.

Frage: Wie kann man die beiden Integrale mathematisch herleiten?

Würde mich freuen, falls mir jemand einen Ansatz geben könnte.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie wird hier die formale Integration der Funktion mit Fallunterscheidungen durchgeführt?

Stichworte: integration,erwartungswert,stetige,zufallsvariable,fallunterscheidung

In meiner Hausarbeit muss ich den Erwartungswert einer stetigen Auszahlung mit Fallunterscheidungen bilden bzw. eine Nutzenfunktion integrieren. Allerdings habe ich hier Schwierigkeiten die Intergration durchzuführen.

Aufgabe: Bestimme den Erwartungswert von u^B

gegeben sind:

-Presie: p₀ und k (Parameter)

-Integrationsvariable: ω=(ω^B ,ω^S)∈[0,1]² (stetige zweidimensionale Zufallsvariable)

-Gemeinsame Dichtefunktion: f(ω)=f(ω^B ,ω^S)

-Randdichten: f^B(ω^B)=\( \int\limits_{0}^{1} \)f(ω)dω^S fS(ωS)=\( \int\limits_{0}^{1} \)f(ω)dωB.

-Zahlungsbereitschafts des Käufers: v=v(ω^B,b)>0 (stetige Zufallsvariable)

-Produktionskosten des Verkäufers: c=(ω^S,s)>0 (stetige Zufallsvariable)

-Investition: b (Konstante)

-Investitionskosten: K^B(b) (Konstante)

-Auszahlung (Nutzen) des Käufers:
u^B=-K^B(b)-p₀+\( \begin{pmatrix} 0 & wenn & k<c & und & v<c \\ v-c & wenn & k<c &und & v≥c\\ c-k & wenn & k>c &und &v<k \\ v-k & wenn& k>c &und &v≥c\end{pmatrix} \)

Lösung: Der Erwartungswert von u^B ist gegeben mit:

U^B=\( \int\limits_{0}^{1} \) \( \int\limits_{0}^{1}\) [v(ω^B,b)-c(ω^S,s)]+f(ω)dω^Bdω^S-\( \int\limits_{0}^{1} \) [k-c(ω^S,s)]+f^S(ω^S)dωS-K^B(b)+p₀.

wobei [•]+=max{0,•}

Frage: Wie wird hier die formale Integration der Fallunterscheidungen durchgeführt bzw. wie wird der Erwartungswert von E_v,c[max{0,v-c,c-k,v-k} + E[-K^B(b)-p₀] gebildet?

Würde mich freuen, wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte.

stawin