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Hallo Leute,

ich komme gerade an einer Stelle nicht weiter und wollte hier um Hilfe bitten.

Aufgabe:

Es geht bei der Aufgabe darum die komplexe Fourierreihe der folgenden Funktion zu ermitteln:


$$ f (t) = \left\{ \begin{array}{ll} A & 0 \leq t \leq \frac {T}{4} \\ 0 & \frac {T}{4}\leq t \leq T \\ \end{array} \right. $$


Problem/Ansatz:


Mit der Ermittlung des komplexen Fourierkoeffizienten habe ich keine Probleme, sodass ich bis zu folgenden Stelle gekommen bin:

$$ c_k = \frac {-A}{j*\pi*k} * [ \cos(k*\frac{\pi}{2}) -j * \sin(k* \frac{\pi}{2}) - 1] $$


Nun kann ich für unterschiedliche Werte für k eine Fallunterscheidung durchführen, sodass für die eckige Klammer folgendes resultiert:

$$ [ \cos(k*\frac{\pi}{2}) -j * \sin(k* \frac{\pi}{2}) - 1]=  \left\{ \begin{array}{ll} (-1)^{k} -1 & \textrm{für k gerade (k = 2*n)} \\ -j*(-1)^{k} -1 & \textrm{für k ungerade (k = 2*n - 1)} \\ \end{array} \right. $$


Dies ist die Stelle an der ich nicht weiterkomme. Ich weiß, dass ich noch weitere Fallunterscheidungen für den Ausdruck $$(-1)^{k}$$ durchführen muss, jedoch weiß ich leider nicht wie.


Kann mir jemand sagen, wie die weiteren Fallunterscheidungen durchzuführen sind und wie ich die Fourierreihe dann zum Schluss angeben soll.


Vielen Dank im Voraus !

von

1 Antwort

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Hallo

 die -1 kommen mit eigenartig vor,

 davon abgesehen ist aber für gerade k (-1)^k=1 also  (-1)^k-1=0

für ungerade k  ist (-1)^k=-1 also -j*(-1)^k-1=j-1

Gruß lul

von 41 k

Hallo lul,

vielen Dank für deine Antwort!

Es ist mir klar, dass $$(-1)^{k}$$ für gerade k gleich 1 und für ungerade k gleich -1 ist. Jedoch verstehe ich nicht ganz, wie ich die Fallunterscheidung innerhalb einer Fallunterscheidung durchführen soll.

Beispielsweise gilt $$(-1)^{k} - 1$$ nur für gerade k. Jedoch besitzt dieser Ausdruck wiederum ebenfalls eine eigene Fallunterscheidung, da beispielsweise folgendes gilt:

Für k = 2 folgt $$ \cos(\pi) = -1 $$

Für k= 4 folgt $$ \cos(\pi * 2) = 1 $$

Ich hoffe, dass ich dir hiermit meine Problematik besser verdeutlicht habe.

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