Integration über Dreieck-Gebiet mit baryzentrischen Koordinaten?

Question

Ich hatte heute eine plötzliche Eingebung:

Kann man die Integration über ein Dreieck mit baryzentrischen Koordinaten abkürzen?

Beispielproblem: Berechnet werden soll $\int _A 3x^2+y \, \mathrm{d}A$, wobei $A$ ein Dreieck mit den Eckpunkten $(0,0),(2,0),(1,1)$ ist.

Ich habe durch Recherche einen entsprechenden Wiki-Artikel gefunden, ich weiß aber nicht genau, wie das zu deuten ist, da einfach zwei baryzentrische Koordinanten $\lambda_1,\lambda_2$ eingeführt werden (kontextlos?)

Hat sich darüber schon einmal jemand Gedanken gemacht oder kann mir bei der Recherche/Lösung des Problems helfen?

Answer 1

Also erst mal sollte man sich die Koordinatentransformation anschauen.

Man kann sich überlegen, dass die Punkte in A in baryzentrischen Koordinaten durch $$(a ~:~ b ~:~ 1 - a - b)$$ gegeben sind, wobei $0 \le a,~b \le 1$ und $a+b\le1$.

Sind $r_1 = (x_1,y_1)$, $r_2 = (x_2, y_2)$ und $r_3 = (x_3, y_3)$ die kartesischen Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks, so hat der Punkt $(a ~:~ b ~:~ 1 - a - b)$ die kartesischen Koodinaten $$(x,y) = a r_1 + b r_2 + (1-a-b) r_3$$ Wir betrachten also für $$\triangle ~:= \{(a,b) ~|~ 0\le a \le 1,~0\le b \le 1 - a\}$$ die Abbildung $$\Phi ~:~ \triangle \to A,~(a,b) \mapsto a r_1 + b r_2 + (1-a-b) r_3$$

dann ist das bestimmt ein Diffeomorphismus. Und der Rest ist jetzt einfach Transformationssatz $$\int_A f(\mathbf r) ~\textrm{d}\mathbf r = \int_\triangle f(ar_1 + br_2 + (1-a-b)r_3) \left| \det J_\Phi(a,b) \right|~\textrm{d}a~\textrm{d}b$$ Es fehlt noch der Betrag der Funktionaldeterminante: $$\begin{aligned} \left| \det J_\Phi(a,b) \right| &= \left| \det \begin{pmatrix} x_1 - x_3 & x_2 - x_3 \\ y_1 - y_ 3& y_2 - y_3\end{pmatrix} \right| \\&= \left| \det \begin{pmatrix} | & | \\ r_1 - r_3 & r_2 - r_3\\ | & | \end{pmatrix} \right| \end{aligned}$$
Das entspricht gerade dem Flächeninhalt des von $r_1 - r_3$ und $r_2-r_3$ aufgespannten Spans, das ist gerade 2mal der Flächeninhalt des Dreiecks.

Beantwortet das deine Frage? Ob das jetzt aber wirklich die Integration vereinfacht?

Comments

Vielen Dank für die Antwort, ich bin mittlerweile etwas weiter gekommen - die Antwort kann ich mit neuem Wissensstand sehr gut nachvollziehen. Dieses Beispiel ist in der Tat nicht sehr gut, um den Nutzen zu exemplifzieren.

Manchmal muss man dreieckige Gebiet aber aufsplitten. Aus Wikipedia (hast du ja eventuell auch gelesen)

The integral of a function over the domain of the triangle can be annoying to compute in a cartesian coordinate system. One generally has to split the triangle up into two halves, and great messiness follows.

Ich kann mir auch vorstellen, dass das bei der Integration über ein 3-Simplex auch helfen kann.

Vielleicht gibt es noch elegantere Methoden, ich bin gerade am forschen/verwerfen/ordnen/sichten.

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Nachtrag:

Ich habe das Gefühl, dass die englischsprachigen Wiki-Artikel teilweise nicht so streng-mathematisch sind. Daher danke für diese mathematischere Einsicht. (formale Koordinatentransformation)

Beispiel: Frullanische Integrale

Während auf der deutschsprachigen Seite die Voraussetzung, die man an $f$ stellt, gegeben sind, steht auf der englischsprachigen Wiki "under certain conditions" (dafür aber mit Beweis xD)

ABER: Zur Integralrechnung gibt es sehr viel mehr im Bereich "Tricks & Tipps für Integration" (in englischer Sprache)

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Ja es sieht mir mittlerweile auch sehr nützlich aus :D

Bei solch einfachen Dreiecken die schon "gut" im gewählten Koordinatensystem liegen ist es vielleicht umständlicher, bei allen anderen müsste man sich dann vermutlich auch eine Koordinatentransformation überlegen oder eben in mehrere Teildreiecke splitten... Da geht diese Trafo bestimmt schneller.

Und zur mathematischen Strenge: Die Forderung, dass der Grenzwert existiert ist ja bei beiden zu finden. Im deutschen Artikel steht jetzt zwar dass f stetig sein muss, aber vermutlich gilt das noch für viel mehr Funktionen. Die Autoren wollen sich da vermutlich nicht auf irgendwelche Voraussetzungen einschränken, die man nur hinschreibt, dass man welche hat.

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Ja es sieht mir mittlerweile auch sehr nützlich aus :D

Vermutlich werde ich das aber nie anwenden bzw. habe ich noch kein Beispiel in irgendwelchen Lehrbüchern gefunden, bei denen das etwas gebracht hätte. Aber Koordinantentransformationen interessieren mich irgendwie sehr. Habe hier eine Liste mit etwas spezielleren Koordinantensystem gefunden (abgesehen von Zylinder- und Kugelkoordinanten).

(Vielleicht interessant für zukünftige Leser/Leserinnen dieser Frage)

Im deutschen Artikel steht jetzt zwar dass f stetig sein muss, aber vermutlich gilt das noch für viel mehr Funktionen.

Dem ist auch so. In der Literatur, die Wikipedia verlinkt, ist das einzusehen. Es ist aber echt erstaunlich, wie viele Wiki-Artikel es im Englischen zur Integralrechung gibt; sogar einen eigenen zu $\int \sec ^3$.

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Also wenn du dich für angewendete Koordinatentrafos interessierst empfehle ich dir eine Elektrodynamik Vorlesung zu besuchen :D Da musste ich damals in den Übungen viel integrieren und ohne Koordinatentrafos (um z.B. die Symmetrie auszunutzen) kommt man da oft nicht weiter.

Z.B. möchte man das Magnetfeld einer homogen geladenen gleichförmig rotierenden Hohlkugel berechnen:

$$\mathbf B(\mathbf r) = \nabla \times \int_{\mathbb R^3} \frac{Q}{4\pi R^2} \frac{\mathbf{\omega} \times \mathbf{r}'}{|\mathbf r - \mathbf{r}'|} \delta(|\mathbf{r}'| - R) ~\textrm d \mathbf{r}'$$

Und auch wenn man Analysis 1-3/4 besucht hat fehlen einem einfach ein bisschen die nötigen Kniffe um solche Integrale schlussendlich dann auch tatsächlich ausrechnen zu können...

Auch sowas hier https://de.wikipedia.org/wiki/Feynman-Parameter habe ich in Mathevorlesungen nie gesehen, dabei ist das eig. ein ziemlich cooler Trick.

Und zu solchen Integral-Artikeln kann man wohl nur sagen: Die einen fassen Frage-Foren als Wikis auf und die anderen schreiben die Lösung zu solchen Standardaufgaben halt in ein echtes Wiki.

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Den Feynman-Parameter (kennengelernt als "Feynman-Method") kenne ich, weil ich mal bei einem Buch mitgearbeitet habe (Korrekturlesen), in dem das behandelt wurde. Integration ist in meinen Kreisen fast schon ein Kult. Ich kenne ein paar, die bei jedem Integral-Wettbewerb der Welt mitmachen (gefühlt), also MIT Integration Bee z. B.

Also wenn du dich für angewendete Koordinatentrafos interessierst empfehle ich dir eine Elektrodynamik Vorlesung zu besuchen :D

Ja, wenn ich aus der Schule raus bin, werde ich auf jeden Fall auch ein paar anwendungsorientiertere Felder anschauen.

(Ich würde sagen, dass das der letzte Kommentar in diesem Thread ist, sonst wird das off-topic, danke für die Hilfe und die Anregungen!)