Beweisen Sie: Die Abbildung f: (Z,+)-->(Z,+), k-->4k, kein Isomorphismus ist.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: Die Abbildung f: (Z,+)-->(Z,+), k-->4k, kein Isomorphismus ist.

Problem/Ansatz:

ich lese ein Beispiel unter Kapitel Gruppenhormomorphismen im Lehrbuch. Ich verstehe, es ist ein Hormomorphismus, denn f(a+b)= 4(a+b)=4a+4b=f(a)+f(b).

Ich weiß aber nicht, wie bekomme ich, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist, aber diese Abbildung ist injektiv.

Bitte zeigen Sie mir, wie bekommt man, dass diese Abildung injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Hier ist das Beispiel:

Die Abbildung

f: (Z,+)--->(Z,+)

  k----->4k

das Lehrbuch noch ein anderes Beispiel:

f : (Z,+)---->(4Z,+)

das Buch sagt, es ein Ismorphismus ist.

Für mich ist der Unterschied nur 4Z und Z, bitte zeigen Sie mir, wie bekommt man, dass f : (Z,+)---->(4Z,+) bijektiv ist.

Herzlichen Dank!

Answer 1

Die Abbildung f: (Z,+)-->(Z,+), k-->4k, kein Isomorphismus ist.

Ich weiß aber nicht, wie bekomme ich, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist, aber diese Abbildung ist injektiv.

"nicht surjektiv" ist eine Abbildung, wenn es ein Element im Zielbereich gibt,

das nicht als Bild vorkommt.

Das wäre hier z.B. die Zahl 3.

Für mich ist der Unterschied nur 4Z und Z, bitte zeigen Sie mir, wie bekommt man,
dass f : (Z,+)---->(4Z,+) bijektiv ist.  Auch hier k-->4k,

In der Tat ist das der einzige Unterschied. Da nun im Zielbereich nur alles

Vielfache von 4 liegen, sind also alle von der Art 4*k mit k ∈ℤ

und somit alle Bild eines k ∈ℤ.

Comments

Herzlichen Dank! Ich verstehe jetzt! Deine Erklärung und Antwort ist sehr hilfsreich für mich :D