Alternierende Reihe/Summe als Bruch aufschreiben?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist der Ausdruck

\( \left(\sum \limits_{n=0}^{\infty} r^{2 n} \cos (n \theta)\right)^{2}+\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty} r^{2 n} \sin (n \theta)\right)^{2} \)
wobei \( |r|<1 \)
Vereinfachen Sie diesen Ausdruck zu einem geschlossenen Resultat (einfacher Bruch ohne unendliche Summen).

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass r sehr schnell kleiner wird, da kleiner als 1 und eine Potenz. Außerdem ist die Reihe alternierend und nach Leibniz-Kriterium konvergent. Wie soll ich das aber als Bruch umschreiben? Ich kenne keinen Term, der in der Reihendarstellung so aussieht.

Comments

Ist das θ möglicherweise ein π ?

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Hallo,

das sieht mir nach komplexen Zahlen und Euler-Formel aus. Wäre das bekannt?

Gruß

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Ich weiß, dass r sehr schnell kleiner wird, da kleiner als 1 und eine Potenz.

Nicht r wird kleiner sondern r²ⁿ.

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Da du von alternierender Reihe sprichst kennst du θ?

lul

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Hi,
ich hätte gedacht, nθ wäre eine eigene Konstante. Dass das n mal θ ist, ist mir nicht in den Sinn gekommen. Ich kenne θ nicht und weiß daher nicht, ob die Zahl Pi sein könnte.

Euler-Formel kenne ich, aber ich sehe den Bezug hier nicht.

Danke für die vielen lieben Antworten.

Answer 1

Wolframalpha:

\( \frac{\left(-2 e^{i \theta}+e^{2 i \theta} r^{2}+r^{2}\right)^{2}}{4\left(-r^{2}+e^{i \theta}\right)^{2}\left(-1+e^{i \theta} r^{2}\right)^{2}}-\frac{\left(-1+e^{2 i \theta}\right)^{2} r^{4}}{4\left(-r^{2}+e^{i \theta}\right)^{2}\left(-1+e^{i \theta} r^{2}\right)^{2}} \)
for \( e^{i \theta} \neq r^{2} \wedge e^{i \theta} r^{2} \neq 1 \wedge|r|<e^{-\operatorname{Im}(\theta) / 2} \wedge|r|<e^{\operatorname{Im}(\theta) / 2} \)

Für \(\theta=\pi\):

\( \frac{1}{\left(r^{2}+1\right)^{2}} \) for \( |r|<1 \wedge r^{2} \neq-1 \)

Answer 2

Hallo,

schreibe

cos(nx) = [e^{inx} + e^{-inx}]/2 

sin(nx) =  [e^{inx} - e^{-inx}]/(2i)

(x anstelle von Theta)

Dann ergeben sich geometrische Reihen, die sich analytisch auswerten lassen.

Comments

Die geometrische Reihe ist ein guter Tipp, geht die aber nicht auch ohne diese Schreibweise?