Exponentielles Wachstum Gehalt

Question

Angenommen du machst mir ein Angebot:

Ich muss für dich 40 Stunden die Woche arbeiten, für 52 Wochen im Jahr bekomme ich Gehalt.

In der ersten Woche bekomme ich einen Cent, in den darauf folgenden Wochen immer das doppelte,

wie hoch ist mein Gehalt nach einem Jahr?


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nochmal zur Erläuterung:

In der ersten Woche bezahlst du mir einen Cent

In der zweiten Woche zwei Cent, auf das ganze Jahr gesehen habe ich dann also

in den ersten drei Wochen drei Cent verdient.

Answer 1

Deine Aufgabenstellung und dein Erläuterungsbeispiel sind ein wenig unscharf formuliert.

Im Grunde möchtest du wohl wissen, wieviel Geld du insgesamt nach 52 Wochen bekommen hast, wenn du in der ersten Woche 1 Cent  und in den folgenden Wochen bis einschließlich zur 52. Woche in jeder Woche doppelt so viel bekommen hast, wie in der jeweils vorangegangenen Woche.

Nun, dann hast du nach n Wochen insgesamt

V = 1 + 2 * 1 + 2 * 2 * 1  + ... + 2 * 2 * ... ( n-1 mal ) ... * 2  * 1

= 1 + 2 + 4 + 8 + ... 2 ^n-1

= 2 ⁰+ 2 ¹ + ... + 2 ^n-1

= ∑^n-1_i=0 2 ⁱ 

Cent bekommen.

Der Wert dieser Summe kann mit einer einfachen Formel berechnet werden::

∑ ^n-1_i=0 2 ⁱ = 2 ⁿ - 1

Nach n = 52 Wochen ergeben sich somit:

V = ∑ ⁵¹_i=0 2 ⁱ = 2 ⁵² - 1 = 4.503.599.627.370.495 Cent = 45.035.996.273.704,95  Euro

also "etwas" mehr als 45 Billionen Euro.

Answer 2

Lösung (Rechnung) findest Du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Sissa_ibn_Dahir