Standardbasisvektoren/Basis bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimme für den Vektor v die Darstellung bezüglich der Standardbasisvektoren e1=(1 0 0), e2=(0 1 0), e3=(0 0 1) und der Basis { b1, b2, b3}  mit b1=( 2 1 1), b2=(0 1 1), b3=(-1 2 0)

a) v= (1 -5 3), b) v=(-4 0 5)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand den Rechenweg erklären? Danke schon mal im Voraus!

Comments

Dazu müsste man wissen in welcher BASIS v geschrieben ist?

_ev oder _bv oder _cv

Answer 1

Aloha :)

Die Darstellungen bezüglich der Standardbasis \(E\) kannst du sofort hinschreiben:

$$\vec v_a=\begin{pmatrix}1\\-5\\3\end{pmatrix}=1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-5\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\vec e_1-5\vec e_2+3\vec e_3$$$$\vec v_b=\begin{pmatrix}-4\\0\\5\end{pmatrix}=-4\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+0\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+5\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=-4\vec e_1+0\vec e_2+5\vec e_3$$

Für die Darstellungen bezüglich der Basis \(B\) benötigen wir die inverse Matrix zu:

$$\vec v_a=\begin{pmatrix}2 & 0 & -1\\1 & 1 & 2\\1 & 1 & 0\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}1\\-5\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4}\\[1ex]-\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & \frac{5}{2}\\[1ex]0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-5\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\[1ex]\frac{9}{2}\\[1ex]-4\end{pmatrix}_B$$$$\phantom{\vec v_a}=-\frac{3}{2}\vec b_1+\frac{9}{2}\vec b_2-4\vec b_3$$$$\vec v_b=\begin{pmatrix}2 & 0 & -1\\1 & 1 & 2\\1 & 1 & 0\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}-4\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4}\\[1ex]-\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & \frac{5}{2}\\[1ex]0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{13}{4}\\[1ex]\frac{33}{4}\\[1ex]-\frac{5}{2}\end{pmatrix}_B$$$$\phantom{\vec v_a}=-\frac{13}{4}\vec b_1+\frac{33}{4}\vec b_2-\frac{5}{2}\vec b_3$$

Comments

Perfekt, danke!

Answer 2

Löse die Gleichung

        v = x·e₁ + y·e₂ + z·e₃.

beziehungsweise die Gleichung

      v = x·b₁ + y·b₂ + z·b₃.