Nullstellen bei Funktion berechnen

Question

Hallo, wie kann ich bei dieser Aufgabe die Nullstellen bestimmen:

0,3 x⁴-2 x² +1=0

Ich wollte hier die Polynomdivision anwenden,jedoch kann ich keine passende Nullstelle erraten. Wie kann ich noch bei dieser Funktion die Nullstellen berechnen?

:) und ein Frohes neues Jahr!

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ah okay danke :), müsste ich das gleiche Verfahren anwenden,wenn alle Exponenten ungerade sind?

Kann man generell nicht. sagen
Kommt auf die Exponenten an.
Hier gehts
0.3·x³ - 2·x¹  = 0
x * ( 0.3·x²- 2· ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
x = 0
und
0.3 * x² - 2 = 0
x = ± 2.58

Answer 1

0.3·x⁴ - 2·x² + 1 = 0

Ersetze/Substituiere: z = x²

0.3·z² - 2·z + 1 = 0

Das ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen z = 10/3 ± √70/3

Resubstituiere

x² = z bzw. x = ± √z

x = ± √(10/3 - √70/3) = ± 0.7378797857
x = ± √(10/3 + √70/3) = ± 2.474308001

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ah okay danke :), müsste ich das gleiche Verfahren anwenden,wenn alle Exponenten ungerade sind?

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ah okay danke :), müsste ich das gleiche Verfahren anwenden,wenn alle Exponenten ungerade sind?

Man kann es auch anwenden wenn z.B.

ax⁶ + bx³ + c = 0
ax⁸ + bx⁴ + c = 0
ax¹⁰ + bx⁵ + c = 0

Bei

ax³ + bx + c = 0

funktioniert es leider nicht. Hier würde man die Polynomdivision probieren. Ansonsten kann auch x substituiert werden.

Answer 2

Aloha :)

$$\left.0,3x^4-2x^2+1=0\quad\right|\cdot\frac{10}{3}$$$$\left.x^4-\frac{20}{3}x^2+\frac{10}{3}=0\quad\right|\text{\(x^2\) als eine Variable betrechten}$$$$\left.(x^2)^2-\frac{20}{3}(x^2)+\frac{10}{3}=0\quad\right|\text{pq-Formel}$$$$\left.x^2_{1,2}=\frac{10}{3}\pm\sqrt{\left(\frac{10}{3}\right)^2-\frac{10}{3}}=\frac{10}{3}\pm\sqrt{\frac{70}{9}}=\frac{10\pm\sqrt{70}}{3}\quad\right.$$Damit können wir nun alle 4 Lösungen angeben:

$$x_1=\sqrt{\frac{10+\sqrt{70}}{3}}\approx2,4743\quad;\quad x_2=-\sqrt{\frac{10+\sqrt{70}}{3}}\approx-2,4743$$$$x_3=\sqrt{\frac{10-\sqrt{70}}{3}}\approx0,7379\quad;\quad x_4=-\sqrt{\frac{10-\sqrt{70}}{3}}\approx-0,7379$$

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dankeschön :)