Bestimmen Sie alle x ∈ R für welche die Potenzreihe konvergiert.

Question

Aufgabe: Gegeben sei die folgende Potenzreihe:
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n}{(n+1)(n+2)} \frac{x^{n}}{2^{n}} \)
Bestimmen Sie alle \( x \in \mathbb{R}, \) für welche die Potenzreihe konvergiert. Vergessen Sie die Punkte mit \( |x|=\rho, \) wobei \( \rho \) der Konvergenzradius ist, nicht.

könnt ihr mir dabei helfen ?

Answer 1

Hallo,

betrachte \(\sum \limits_{n=0}^{\infty}\underbrace{\frac{n}{(n+1)(n+2)}}_{=:a_n}\left(\frac{x}{2}\right)^n\) und verwende das Quotientenkriterium.

Es gilt:$$\left |\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=\frac{\frac{n}{(n+1)(n+2)}}{\frac{n+1}{(n+2)(n+3)}}=\frac{n\cancel{(n+2)}(n+3)}{(n+1)^2\cancel{(n+2)}}=\frac{n^2+3n}{n^2+2n+1}=\frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}\xrightarrow{n\to \infty}1$$ Weil wir von \(\frac{x}{2}\) ausgehend den Konvergenzradius bestimmt haben, ist der Konvergenzradius \(r=2\) und das Konvergenzintervall \((-2,2)\). Allerdings müssen wir an den Rändern noch untersuchen. Dafür setzt man jeweils \(x=-2\) und \(x=2\) ein und überprüft das mit den gängigen Konvergenzkriterien. Sollte es an diesen Grenzen konvergieren, nehmen wir diese freudvoll in unser Konvergenzintervall auf. Der Rest muss draußen bleiben.