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A : ={(x4x3x2x)R4xR} A:=\left\{\left(\begin{array}{c}x^{4} \\ x^{3} \\ x^{2} \\ x\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x \in \mathbb{R}\right\}

Untersuchen Sie, ob A ein R Untervektorraum von R4 ist.

Ich weiß, dass alle Vektoren im R3, die durch 0 gehen, Unter Vektoren von R4 sind. Aber wie kann ich das hier beweisen?

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Hallo,

was definiert denn einen Untervektorraum und wie würdest du beginnen, die Bedingungen, die man einen UVR stellt, zu untersuchen?

Hallo,

das sind die Definitionen, die ich kenne:

1) A ist nicht die leere Menge

2) Sind v, w Element aus A zwei Vektoren, so dass die Summe v + w ein Vektor aus A ist.

3) Ist v Element A ein Vektor und a eine reelle Zahl, so ist a * v wieder ein Vektor aus A.

Zu 1) würde ich einfach sagen, dass ist Trivial, weil das jeder sagt.

Zu 2) hätte ich die Idee: v+w=A=(0,5x40,5x30,5x30,5x)+(0,5x40,5x30,5x30,5x)=(x4x3x2x) v+w=A= \begin{pmatrix} 0,5*x^4\\0,5*x^3\\0,5*x^3\\0,5*x \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0,5*x^4\\0,5*x^3\\0,5*x^3\\0,5*x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x^4\\x^3\\x^2\\x \end{pmatrix}

Zu 3) v2=A=2(0,5x40,5x30,5x30,5x)=(x4x3x2x) v*2=A =2*\begin{pmatrix} 0,5*x^4\\0,5*x^3\\0,5*x^3\\0,5*x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x^4\\x^3\\x^2\\x \end{pmatrix}

Habe ich damit alle drei Definitionen bewiesen?

1 Antwort

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Zu 1) würde ich einfach sagen, dass ist Trivial, weil das jeder sagt.

Du solltest dir dann bitte nochmal die Bedeutung vom Wort ,,Trivial'' im Sinne der Mathematik vor Augen halten! Das sagt man nicht, weil man ,,cool'' ist, sondern weil etwas unmittelbar aus etwas anderem folgt, ohne es formal ausgedehnt begründen zu müssen. Das ist aber von der jeweiligen Aussage abhängig.

1.) folgt hier deshalb, weil dies bei genauerem Betrachten von AA aus dessen Konstruktion folgt. Man hat hier Elemente der Form (x4x3x2x)\begin{pmatrix}x^4\\x^3\\x^2\\x \end{pmatrix}, wobei xx reellwertig ist. Damit ist AA nichtleer.

2.) Deine Idee funktioniert nicht, da du vv und ww (sogar v=wv=w) speziell gewählt hast. Es soll aber für alle v,wAv,w\in A die Eigenschaft v+wAv+w\in A geprüft werden. Man hat also beliebige v : =(x4x3x2x),w : =(y4y3y2y)Av:=\begin{pmatrix}x^4\\x^3\\x^2\\x \end{pmatrix},\quad w:=\begin{pmatrix}y^4\\y^3\\y^2\\y \end{pmatrix}\in A.

Ist es nun damit möglich, dass v+w=(x4+y4x3+y3x2+y2x+y)v+w=\begin{pmatrix}x^4+y^4\\x^3+y^3\\x^2+y^2\\x+y \end{pmatrix} immer ein Element der Form (z4z3z2z)\begin{pmatrix}z^4\\z^3\\z^2\\z \end{pmatrix} darstellt?

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x4 + y4 ungleich z4. Aber wenn man u + w addiert erhält man ein Vektor im R4.

Also würde ich sagen, das v + w immer ein Element der Form R4 ist. Aber das kann man ja dann bei jedem Vektor sagen. Also ich will damit sagen, das man immer ein u und w findet, welches z ergibt.

Aber wenn man u + w addiert erhält man ein Vektor im R4.

Das schon, aber ist er auch in AA enthalten, d.h lässt er sich in dieser Struktur darstellen (z4z3z2z)\begin{pmatrix}z^4\\z^3\\z^2\\z \end{pmatrix}?

Was meinst du mit "Struktur"? Es ist ein Vektor im R4, falls du das meinst.

Das ist nicht gefragt, ob es in R4\mathbb{R}^4 ist. Ja is es. Aber auch in der Menge AA??? Betrachte zb v : =(1413121),w : =(2423222)Av:=\begin{pmatrix}1^4\\1^3\\1^2\\1 \end{pmatrix},\quad w:=\begin{pmatrix}2^4\\2^3\\2^2\\2 \end{pmatrix}\in A. Dann hat man

v+w=(14+2413+2312+221+2)((1+2)4(1+2)3(1+2)21+2)v+w=\begin{pmatrix}1^4+2^4\\1^3+2^3\\1^2+2^2\\1+2 \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}(1+2)^4\\(1+2)^3\\(1+2)^2\\1+2 \end{pmatrix}.

Verstehe ich richtig, dass es kein x4 + y4 gibt, wo man das Ergebnis als eine Zahl mit der Potenz 4 schreiben kann?

Gibt es schon, nämlich für x=y=0x=y=0 gilt das sogar 0n+0n=(0+0)n0^n+0^n=(0+0)^n für alle nN1n\in \mathbb{N}_{\geq 1}, aber eben nicht allgemein für beliebige x,yRx,y\in \mathbb{R} (siehe Beispiel).

Ok, danke dir. Kann ich die 3) so lassen, oder ist das bsp. falsch?

Wenn man ein Gegenbeispiel findet, dann kann man sich die restliche Mühe sparen, die verbliebenen Axiome nachzuweisen (außer es wird explizit verlangt zu zeigen, welche Axiome gelten und welche nicht).

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