Dimension und Basis eines Vektorraumes

Question

Aufgabe:

Sei V=R²,m=1 und w1=(x1,x2) verschieden (0,0).

Ist x1 verschieden 0, so ist (w1,e2) eine Basis, für x2 verschieden 0 dagegen (w1,e1).

Problem/Ansatz:

In meinem Buch steht dieses Beispiel und es geht in diesem Kapitel um die Dimension des Vektorraums. Ich weiß was die Basisvektoren e1,e2 sind, aber irgendwie komm ich nicht drauf, was mir dieses Beispiel sagt? Zeigt das wann es eine Basis ist? und wieso ist wenn x1 verschieden 0 ist (w1,e2) eine Basis, für x2 ...?

Answer 1

Hallo

eine Basis des R^2 sind jeweils 2 linear unabhängige Vektoren, die oft üblichen sind e1=(1,0) und e2=(0,1) da kann man direkt sehen, dass der Vektor (a,b)=a*e1+b*e2 ist.

wenn man w1=(x1,x2) nimmt und x1=0 dann ist ja w1=(0,x2)=x2*e2 und die 2 Vektoren w1 und x2 sind nicht linear unabhängig, du kannst (a,b) nicht aus ihnen kombinieren,,

wenn w1z.B w=(1,1)  ist ist das unabhängig von e2 du kannst also (a,b) wieder kombinieren mit (a,b)= a*w1+(b-a)*e2 (probier es aus.

entsprechend , kann man e1,w2 nehmen, mit w2=(y1,y2) y2≠0

natürlich muss w2 und w1 nicht (1,1) sein es könnte auch (3,7) sein  dann muss man nur länger denken bzw. rechnen um (a,b) zu kombinieren .

Gruß lul

Comments

Nein tut ma leid i kann dem nicht folgen. Ich versteh nicht wie man da kombiniert.

Jz hab ich x1 verschieden 0, dann habe ich mit den Vektoren (a,b)=e1*x1 und dann sind die nicht linear unabhängig? Wenn sie eine Basis bilden anhand des Beispieles, dann müssen sie ja linear unabhängig sein oder?