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\( W \subseteq V \) ist Untervektorraum eines endlich erzeugten Vektorraumes. Aus \( dim W = dim V \) folgt \( W = V\).

Beweis: Sei \( n = dim W = dim V\) und \( w_1, ..., w_n \) Basis von \( W \). Ist \( W \not = V \), so gibt es ein \( v \in V \setminus W \) und \(w_1, ..., w_n, v \) sind linear unabhängig im Widerspruch zum Austauschsatz.


"\(w_1, ..., w_n, v \) sind linear unabhängig" verstehe ich leider nicht. Warum sind diese Vektoren linear unabhängig? Bitte um Hilfe. Der Rest ist klar.

von

2 Antworten

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weil du \(v\) nicht durch eine lineare Kombination von \(w_1, \dots, w_n \) erzeugen kannst, denn ansonsten wäre ja \(v \in W \).

Gruß

von 24 k
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Was besagt denn der Austauschsatz genau?

Die Aussage "w1,w2,...,wn,v sind lin. unabh." scheint mir logisch.

Hier mal ein Versuch das ausführlich zu notieren:

Alle Elemente von W können als Linearkombinationen von w1, w2, ... wn geschrieben werden.

Und alle Linearkombinationen von w1, w2, ...., wn liegen in W.

==> v kann nicht als Linearkomb. von w1, w2, ... ,wn dargestellt werden.

==> v ist lin. unabh. von span(w1, w2, ... ,wn) .

w1, w2, ...., wn sind als Basis lin. unabh.

==> v,w1,w2,... ,wn sind lin. unabh.

von 162 k 🚀

Danke für die schnellen Antworten. Leider war das für mich bisschen zu schnell und konnte nicht alles nachvollziehen, deswegen nochmal.

Ich muss zeigen, dass für \( 0 = \lambda_1 w_1 + ... + \lambda_n w_n + \lambda v \), \(\lambda_1, ..., \lambda = 0 \). Jetzt nehme ich an es wäre linear abhängig und brauche ein Widerspruch. Für \( \lambda \not = 0 \) wäre das ganze sehr einfach, weil dann kann ich \( v \) rüber bringen und habe damit, dass die lineare Kombinationen das \(v \) erzeugen und somit \( v \in W \), was Yakyu geschrieben hat und das ist Widerspruch. Das Problem ist, das hier nicht unbedingt \( \lambda \not = 0 \) gelten muss, sondern z.B. \( \lambda_5 \not = 0 \).

1. Was Yakyu geschrieben hat, ist mE eine Kurzversion, dessen, was ich hier umständlich hingeschrieben habe.

2. Du hast noch nicht geschrieben, was der Austauschsatz genau besagt.

Lu,

Austauschsatz:

\(  (v_1, ..., v_r) \) ist eine Basis.

\( (w_1, ..., w_n) \) ist eine l. unabhängige Familie.

Dann ist \( n \le r \) und man kann die ganze Familie gegen \(n \) Elemente aus der Basis austauschen und man erhält wieder eine Basis.


Das ganze bezieht sich natürlich auf ein K-Vektorrraum \(V\)

Lu,

ich bin bis hierhin gekommen "==> v ist lin. unabh. von span(w1, w2, ... ,wn) ." und verstehe nicht was Du damit meinst bzw. was die Aussage "lin. unabh. von span" zu sein, zu bedeuten hat.

Das soll heissen v ist lin. unabh. von allen denkbaren Linearkombinationen von w1,w2,...,wn.

Lu, die lineare unabh. kenne ich nur in Zusammenhang mit dem Nullvektor. So haben wir die l. Unabhängigkeit definiert.

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