Cauchy-Riemannsche DGL benutzen

Question

Moin Leute, ich muss einmal mit elementaren Mitteln (Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen) und einmal mit dem Satz über Gebietstreue folgende Aussage zeigen: Ist \( f: \Omega \rightarrow \mathrm{C} \) holomorph, \( \Omega \subset \mathbb{C} \) ein Gebiet und \( f=u+i v \) mit \( u=\chi \circ v \) für eine differenzierbare Funktion \( \chi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \) dann ist \( f \) konstant.

Wisst ihr, wie man hier vorgeht?

LG

Comments

Hallo

ja, man wendet die Cauchy-R  Dgl auf die Funktion an?

lul

Answer 1

Vielleicht so?

\(  f = u + iv \)  und \( u = g(v) \). Da \( f \) holomorph ist, gelten die Cauchy Riemannschen Dgl.

\( u_x = v_y \) und \( u_y = -v_x \) Für die partiellen Ableitungen von \( u \) gilt

\( u_x = g'(v) v_x \) und \( u_y = g'(v) v_y \)

Zusammen mit den Cauhy Riemannschen Dgl. folgt $$ g'(v)v_x = v_y $$ und $$ g'(v)v_y = - v_x $$ und deshalb

$$ \big[  g'(v)^2 + 1 \big] v_x = 0 $$ und $$ \big[ g'(v)^2+1 \big] v_y = 0 $$ Also \( v_x = v_y = 0 \) und damit \( v = \text{const} \) und damit auch \( u = g(v) = \text{const} \) also auch \( f = g(v) + iv = \text{const} \)

Comments

Ah super, vielen Dank für die Hilfe!