Question

Wie finde ich eine lineare Abbildung die v1 auf w1 abbildet?

v1=(1,2,3,4)  w1=(0,0,1,0)

Answer 1

Hallo Melina,

Willkommen in der Mathelounge!

Wie finde ich eine lineare Abbildung die v1 auf w1 abbildet?

Eine lineare Abbildung ist z.B. eine Matrixmultiplikation der Art$$w_1 = A \cdot v_1$$ Die Matrix $A$ besteht aus vier Zeilenvektoren:$$A = \begin{pmatrix} l_1^T \\ l_2^T\\ l_3^T\\ l_4^T\end{pmatrix}$$und um obige Gleichung zu erfüllen gilt folglich$$0 = l_1^T \cdot v_1 \\ 0 = l_2^T \cdot v_1 \\ 1 = l_3^T \cdot v_1\\ 0 = l_4^T \cdot v_1$$Nun kann man sich Vektoren $l_i$ ausdenken, die obige vier Gleichungen erfüllen. Beginne mal mit $1 = l_3^T \cdot v_1$ - geht z.B. so$$1 = \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{pmatrix}$$Für die drei anderen benötigt man nun Vektoren, die senkrecht auf $v_1$ stehen. Im einfachsten Fall vertauscht man zwei der vier Koordinaten und negiert eine der beiden. Die anderen Koordinaten setzt man zu $0$ - zum Beispiel:$$0 = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 4\\ -3\end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{pmatrix}$$Du kannst Dir nun noch andere ausdenken, oder überall den gleichen Vektor nehmen.

Somit wäre auch $$f: \quad w_1 = \begin{pmatrix}0& 0& 4& -3\\ 0& 0& 4& -3\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 4& -3\end{pmatrix} \cdot v_1$$eine Lösung.

Gruß Werner

Comments

Hallo, danke Ihnen. Können Sie mir erklären, wie ich jetzt weiß, ob das jetzt injektiv, surjektiv oder bijektiv ist? Weil bei der Aufgabe muss man rechnen, ob es eine lineare Abbildung gibt, die Φ:V→W mit Φ(v1)=w1 für 1≤i≤3

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Da sind noch weitere Vektoren. Muss ich dann das gleiche für v2 und w2, v3 und w3 machen?

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Wie kommen Sie denn auf die 4x4 Matrix? Also auf die Einträge

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Muss ich dann das gleiche für v2 und w2, v3 und w3 machen?

Im Prinzip ja! Aber mit Raten (so wie oben) kommt man dann nicht weiter. Schreiben wir es mal hin, Es muss doch gelten:$$\begin{pmatrix}w_1& w_2& w_3\end{pmatrix} = A \cdot \begin{pmatrix}v_1& v_2& v_3\end{pmatrix}$$Hier liegt also eine Matrizenmultiplikation vor, bei der eine 4x4-Matrix (das $A$) mit einer 4x3-Matrix (die $v_i$'s) multipliziert wird und das Ergebnis ist wieder eine 4x3-Matrix (die $w_i$'s).

Für jede $k$'te Zeile von $A$ muss dann gelten:$$\begin{pmatrix}w_{1k}& w_{2k}& w_{3k}\end{pmatrix} = l_k^T \cdot \begin{pmatrix}v_1& v_2& v_3\end{pmatrix}$$bzw. in der transponierten Schreibweise$$\begin{pmatrix}v_1^T\\ v_2^T\\ v_3^T\end{pmatrix} \cdot l_k= \begin{pmatrix}w_{1k}\\ w_{2k}\\ w_{3k}\end{pmatrix}$$was in jedem Fall ein um 1 unterbestimmtes Gleichungssystem ist. Du hast also immer drei Gleichungen für vier Unbekannten. Das kann man mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren lösen.

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Wie kommen Sie denn auf die 4x4 Matrix? Also auf die Einträge

ich habe sie aus den Zeilen darüber einfach abgeschrieben. Der Vektor $l_3$ soll eine $1$ liefern (die dritte Koordinate von $w_1$):$$l_3 = \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \quad \text{da} \space l_3^T \cdot v_1 = 1$$und für die anderen drei habe ich den identischen Vektor gewählt$$l_1 = l_2 = l_4 = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 4\\ -3\end{pmatrix}, \quad \text{da} \space l_1\cdot v_1 = l_2 \cdot v_2 = l_4 \cdot v_1 = 0$$und das habe ich dann für $A$ eingesetzt$$A = \begin{pmatrix} l_1^T \\ l_2^T\\ l_3^T\\ l_4^T\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0& 0& 4& -3\\ 0& 0& 4& -3\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 4& -3\end{pmatrix}$$

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Ich möchte Sie nicht nerven oder so, aber wie kommen Sie auf (4,4,0,4) und (-3,-3,0,-3). Leider verstehe ich das mit den Vektoren nicht so genau, deswegen diese Fragen. Tut mir leid.

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Ich möchte Sie nicht nerven oder so, aber wie kommen Sie auf (4,4,0,4) und (-3,-3,0,-3). Leider verstehe ich das mit den Vektoren nicht so genau, deswegen diese Fragen. Tut mir leid.

Muss Dir nicht leid tuen! Auch wenn mich die Frage überrascht ;-)

Ich könnte jetzt antworten: steht doch da! Aber Du siehst es nicht. Vielleicht weißt Du nicht was das ${}^T$ hinter dem $l_1^T$ bedeutet. Es ist $$l_1 = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 4\\ -3\end{pmatrix}$$und $l_1^T$ ist der gleiche Vektor, nur eben transponiert$$l_1^T = \begin{pmatrix}0& 0& 4& -3\end{pmatrix}$$das schreibe ich nun für alle vier Zeilenvektoren hin$$l_1^T = \begin{pmatrix}0& 0& 4& -3\end{pmatrix} \\ l_2^T = \begin{pmatrix}0& 0& 4& -3\end{pmatrix} \\ l_3^T = \begin{pmatrix}1& 0& 0& 0\end{pmatrix}\\ l_4^T = \begin{pmatrix}0& 0& 4& -3\end{pmatrix}$$und wenn ich das nun in die Matrix $A$ einsetze:$$A = \begin{pmatrix} l_1^T \\ l_2^T\\ l_3^T\\ l_4^T\end{pmatrix} = \dots$$Na!? Ist es jetzt klar? ;-)

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Na!? Ist es jetzt klar? ;-)

Falls es doch nicht klar ist, so melde dich bitte!

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Ohhh, bin doof. Habs jetzt gesehen. Tut mir leid.