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U28 (4+4+2 Punkte) Sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) eine lineare Abbildung mit den Eigenschaf-
ten \( f \circ f \circ f=0 \) und \( f \circ f \neq 0 \). Beweisen Sie, dass es eine Basis \( B \) des \( \mathbb{R}^{3} \) gibt, sodass die Darstellungsmatrix von \( f \) bzgl. \( B \) die Form
$$ \mathcal{M}_{B}^{B}(f)=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$
besitzt. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
(a) Finden Sie einen Vektor \( v \in \mathbb{R}^{3} \) mit den Eigenschaften
$$ v \neq 0, \quad f(v) \neq 0, \quad(f \circ f)(v) \neq 0 $$
(b) Zeigen Sie, dass mit Ihrer Wahl von \( v \) aus dem vorigen Teil die Vektoren \( v \), \( f(v), \) und \( (f \circ f)(v) \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) bilden.
(c) Stellen Sie die Abbildung \( f \) bezüglich einer Basis \( B \) dar, welche durch geeignetes Vertauschen der drei Vektoren aus (b) entsteht.
