Zeigen Sie: Die Funktion f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\exp (x)-x2 n besitzt genau drei (reelle) …

Question

Aufgabe:

Sei $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. Zeigen Sie: Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\exp (x)-x^{2 n}$ besitzt genau drei (reelle) Nullstellen. (Sie dürfen verwenden, dass es zu jedem $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ ein $x_{0} \in \mathbb{R}, x_{0}>4$ gibt mit $f\left(x_{0}\right)>0$.

Answer 1

Hallo,

mal ein paar Tipps, was man machen kann.

Zunächst ist $f(0)=1$. Für negative x ist $f(x)\leq 1-x^{2n}$. Dies ist negativ für $x < -1$. Also existiert eine Nullstelle in $(-1,0)$ und keine weitere für $x \leq -1$

Weiter ist $f(1)=e-1>0$ und $f(2)=e^2-4^n<0$, also liegt in $(1,2)$ eine weitere Nullstelle.

Mit dem in der Aufgabenstellung angegebenen $x_0$ gibt es eine weitere Nullstelle in $(2,x_0)$.

Wenn man jetzt noch die Ableitung betrachtet (oder vielleicht gibt es noch andere Ideen), dann folgt, dass es keine weiteren gibt.

Gruß