Integral auf Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

Ich soll das folgende Integral auf Konvergenz untersuchen:

Integral von 0 bis 1

von

sin(x) ln(x) dx

Hat jemand einen Ansatz für dieses Problem?

Answer 1

Hallo,

es handelt sich nicht wirklich um ein Problem der Konvergenz, denn der Integrand hat eine stetige Ergänzung im Nullpunkt. Dazu würde ich umformen:

$$\sin(x) \ln(x)= \frac{\sin(x)}{x} (x \ln(x))$$

Beide Faktoren haben für \(x \to 0\) bekannte Grenzwerte, die aber auch leicht bestimmt werden können.

Gruß

Comments

Hallo,

ich habe jetzt den Grenzwert 1 für sin(x)/x und den Grenzwert 0 für xln(x) berechnet. Wie hilft mir das jetzt für den Beweis der Konvergenz weiter?

Gruß Jan

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Der Integrand kann zu einer stetigen Funktion auf [0,1] fortgesetzt werden und diese ist integrierbar.

Gruß

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Hallo,

wie kann man denn einen Integrand zu einer stetigen Funktion fortsetzen?.. ich bin leider etwas ratlos..

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Wir haben die Funktion

$$f:(0,1] \to \mathbb{R}, f(x)= \sin(x)\ln(x)$$

Diese Funktionsvorschrift kann ich im Nullpunkt nicht auswerten. Wenn ich definiere \(f(0):=0\). Dann ist \(f:[0,1] \to \mathbb{R}\) stetig. Das nennt man stetige Fortsetzung.

Wenn Dir das alles merkwürdig vorkommt, dann schreib doch mal hierhin, was Ihr gelernt habt, wie man ein Integral auf Konvergenz untersucht.

Gruß