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Aufgabe:


Sei x ∈ R mit |x| < 1. Stellen Sie die Funktion ((1x)3)5 \sqrt[5]{ ((1-x)^3) }       als Binomialreihe dar.
Bestimmen Sie die ersten vier Koeffizienten dieser Binomialreihe.

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Aloha :)

Die Binomialreihe des Ausdrucks können wir in Anlehnung an den binomialen Lehrsatz hinschreiben. Allerdings tritt darin nicht der gewohnte Binomialkoeffizient auf, sondern eine Erweiterung:(1x)35=(1+(x))35=k=0(3/5k)(x)k  ;  (αk)a(a1)(ak+1)k!\sqrt[5]{(1-x)^3}=(1+(-x))^{\frac{3}{5}}=\sum\limits_{k=0}^\infty\binom{3/5}{k}(-x)^k\;;\;\binom{\alpha}{k}\coloneqq\frac{a(a-1)\cdots(a-k+1)}{k!}

Für die ersten 4 Glieder der Reihe benötigen wir die entsprechenden Binomialkoeffizienten:(350)=1\binom{\frac{3}{5}}{0}=1(351)=351!=351=35\binom{\frac{3}{5}}{1}=\frac{\frac{3}{5}}{1!}=\frac{\frac{3}{5}}{1}=\frac{3}{5}(352)=35(25)2!=6252=325\binom{\frac{3}{5}}{2}=\frac{\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)}{2!}=\frac{-\frac{6}{25}}{2}=-\frac{3}{25}(353)=35(25)(75)3!=421256=7125\binom{\frac{3}{5}}{3}=\frac{\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)\cdot\left(-\frac{7}{5}\right)}{3!}=\frac{\frac{42}{125}}{6}=\frac{7}{125}

Damit haben wir die folgende Reihendarstellung gefunden:

(1x)35=135x325x27125x3O(x4)\sqrt[5]{(1-x)^3}=1-\frac{3}{5}x-\frac{3}{25}x^2-\frac{7}{125}x^3-O(x^4)

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