Zeige dass 3 Vektoren eine Orthonormalbasis des R3 bilden.

Question

Hallo in die Mathe Community,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen, weiß aber leider nicht wie ich diese berechnen kann?

Ich habe die Vermutung dass man es vielleicht mit dem Gram-Schmidt Verfahren funktionieren könnte, bin mir aber nicht sicher wie ich mit diesem bei der Aufgabe beginnen soll.

Über Hilfe für mein Problem wäre ich sehr dankbar.

Die Aufgabe ist folgende:

Zeige dass die folgenden 3 Vektoren:

v1= 1/√3 * (1, 1, 1)

v2= 1/√6 * (1, 1, -2)

v3= 1/√2 * (1, -1, 0)

eine Orthonormalbasis des R3 bilden.

Stellen sie außerdem den Vektor

v= (1, 4, 5)

als Linearkombination dieser Basisvektoren dar.

Comments

Haha, Tu Darmstadt?

Answer 1

Hallo Peter,

Ich habe die Vermutung dass man es vielleicht mit dem Gram-Schmidt Verfahren funktionieren könnte ...

Das Gram-Schmidt-Verfahren dient dazu, eine Orthonormalbasis zu berechnen. Hier sollst Du aber nur zeigen, dass eine solche vorliegt.

Stehen die drei Vektoren paarweise orthogonal zu einander? $$v_1 \perp v_2 ? \quad v_1 \cdot v_2 = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{\sqrt 3 \cdot \sqrt 6} = 0 \space \checkmark$$für die beiden ist das erfüllt. Prüfe die anderen beiden Paare $v_1 \perp v_3$ und $v_2 \perp v_3$.

Haben die Vektoren die Länge $1$? $$|v_1| = 1 ? \quad |v_1| = \frac 1{\sqrt 3} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = 1 \space \checkmark$$Prüfe auch die anderen beiden.

Ist das alles erfüllt, dann ist $\{v_1, \, v_2, \, v_3\}$ eine Orthonormalbasis im $\mathbb R^3$

Stellen sie außerdem den Vektor v= (1, 4, 5) als Linearkombination dieser Basisvektoren dar.

Das heißt, es ist das Tripel $x,\, y,\, z$ zu finden, für das gilt:$$v_1 x + v_2 y + v_3 z = v$$Das ist ein lineares Gleichungssystem, das solltest Du lösen können. Zur Kontrolle:$$x = \frac{10}{\sqrt 3}, \quad y = - \frac{5}{\sqrt 6}, \quad z = - \frac{3}{\sqrt 2}$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner, vielen Dank für deine Hilfe.

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Hallo Werner, ich habe nun mal den ersten Teil der Aufgabe gerechnet. Dabei kam bei mir , bei der Prüfung der Prüfung der Orthogonalität der Vektoren raus, dass diese paarweise Orthogonal zueinander sind.

Bei der Prüfung der Vektoren auf die Länge 1 kam bei mir raus, dass Vektor V2 und V3 nicht die Länge 1 erfüllen und daher keine Orthonormalbasis im r3 erfüllt ist.

Sind meine Lösungen der Berechnungen so korrekt?

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Bei der Prüfung der Vektoren auf die Länge 1 kam bei mir raus, dass Vektor V2 und V3 nicht die Länge 1 erfüllen

$$|v_2|= \left|\frac 1{\sqrt 6} \begin{pmatrix}1\\ 1\\ -2\end{pmatrix}\right| = \frac{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2 }}{\sqrt 6} = 1$$

Sind meine Lösungen der Berechnungen so korrekt?

Ich vermute: nein! Wenn Du nicht zurecht kommst, stelle Deine Berechnung doch hier ein.

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Hallo Werner, ich habe meinen Fehler gefunden, nach der Prüfung der Vektoren V1,V2 und V3 habe ich jetzt auch als Lösung dass eine Orthogonalbasis im R3 erfüllt ist.

Wenn ich beim Lösen des Gleichungssystems noch eine Frage haben sollte, würde ich dir nochmal Bescheid geben.

Vielen dank :)

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Wenn ich beim Lösen des Gleichungssystems noch eine Frage haben sollte, würde ich dir nochmal Bescheid geben.

Ein Tipp dazu: löse zunächst dieses Gleichungssystem$$v_1 \sqrt 3\, x' + v_2 \sqrt 6\, y' + v_3 \sqrt 2\, z' = v$$mit$$x = \sqrt 3\, x', \quad y=\sqrt 6\, y', \quad z =\sqrt 2\, z'$$dann ersparst Du Dir die 'Wurzelei'. Auf jeden Fall ist es weniger Schreibarbeit ;-)