Ermittle eine Lösung des Anfangswertproblems

Question

Aufgabe:

Ermittle eine Lösung des Anfangswertproblems y' + y sin x = sin 2x, y(\( \frac{π}{2} \)) = 0, x∈R

Answer 1

Hallo,

Lösung via Variation der Konstanten:

1) homogene Gleichung:

y'+y sin(x)=0 ->Lösung via Trennung der Variablen

yh= C₁ e^(cos(x))

2) C₁=C(x)

yp=C(x) e^(cos(x))

yp'=

3) Einsetzen von yp und yp' in die DGL

C(x) muß sich herauskürzen

C(x)= ..

4) yp=C(x) e^(cos(x)

5)y= yh+yp

6)AWB in die Lösung einsetzen

Lösung : \( y(x)=c_{1} e^{\cos (x)}+2 \cos (x)+2 \)

mit AWB : \( y(x)=2\left(\cos (x)-e^{\cos (x)}+1\right) \)