Anfangswertproblem differentialgleichung mit mehreren unbekannten

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 5
$$(8=2+4+2 \text { Punkte })$$
Bei einer bimolekularen Reaktion bildet sich aus jeweils einem Molekül der Substanz A und einem Molekül der Substanz B ein Molekül der Substanz $C .$ Die Konzentrationen der Substanzen A und B zum Zeitpunkt $t=0$ seien a und b. Die Konzentration $y(t)$ der Substanz C zum Zeitpunkt $t$ sei zu Beginn 0 und sie wächst monoton, bis eine der beiden Substanzen A oder B komplett aufgebraucht ist. Man beobachtet, daß die Reaktionsgeschwindigkeit $y^{\prime}(t)$ gegeben ist durch $y^{\prime}=k(a-y)(b-y) \quad$ mit einer Konstanten $k>0$
Also ist die Konzentration $y(t)$ die Lösung eines Anfangswertproblems.
(a) Lösen Sie die obige Anfangswertproblem im Fall $b=a$.
(b) Lösen Sie die obige Anfangswertproblem im Fall $b>a$.
(c) Zeigen Sie, daß in beiden Fällen gilt $\lim \limits_{t \rightarrow \infty} y(t)=a$.
Hinweis: Sie dürfen $a-y(t)>0$ und $b-y(t)>0$ annehmen, da ansonsten die Reaktion endet.

Problem/Ansatz:

Also falls jemand einige ansätze für diese aufgabe hat wäre ich sehr dankbar. Ich finds sehr schwer mich da rein zu denken.

Answer 1

Hallo,

a)  Fall b=a :

y'(t)=k (a-y)(a-y) =(a-y)²

dy/dt= k*(a-y)²

dy/((a-y)²) = k*dt

linkes Integral: z=a-y

1/(a-y)=k* t+C | Reziproke

a-y=1/(kt+C)

y= a -1/(kt+C)

c) für Fall b=a und b>a

$\lim\limits_{t\to\infty}$ ( a -1/(kt+C))

kt +C ->∞

1/(kt+C) ->0

--->

$\lim\limits_{t\to\infty}$ ( a -1/(kt+C)) =a

b) b>a

------->

a kann vernachlässigt werden=0

y'(t)=k (a-y)(b-y)

y'(t)= (-ky)(b-y)

dy/dt= (-ky)(b-y)

dy/((y(b-y)) =-k dt

(1/b) (ln|y| -ln|y-b|)= -kt +C

->nach y auflösen:

y= (-b C₁ e^(-bkt))/(1 -C₁ e^(-bkt)

Comments

was muss man nach use noch machen? Verstehe das nicht so ganz

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also muss ich die jetzt ausrechnen die Klammern und habe das Ergebnis?

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JA , siehe oben