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Aufgabe:

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Aufgabe 5
(8=2+4+2 Punkte ) (8=2+4+2 \text { Punkte })
Bei einer bimolekularen Reaktion bildet sich aus jeweils einem Molekül der Substanz A und einem Molekül der Substanz B ein Molekül der Substanz C. C . Die Konzentrationen der Substanzen A und B zum Zeitpunkt t=0 t=0 seien a und b. Die Konzentration y(t) y(t) der Substanz C zum Zeitpunkt t t sei zu Beginn 0 und sie wächst monoton, bis eine der beiden Substanzen A oder B komplett aufgebraucht ist. Man beobachtet, daß die Reaktionsgeschwindigkeit y(t) y^{\prime}(t) gegeben ist durch y=k(ay)(by) y^{\prime}=k(a-y)(b-y) \quad mit einer Konstanten k>0 k>0
Also ist die Konzentration y(t) y(t) die Lösung eines Anfangswertproblems.
(a) Lösen Sie die obige Anfangswertproblem im Fall b=a b=a .
(b) Lösen Sie die obige Anfangswertproblem im Fall b>a b>a .
(c) Zeigen Sie, daß in beiden Fällen gilt limty(t)=a \lim \limits_{t \rightarrow \infty} y(t)=a .
Hinweis: Sie dürfen ay(t)>0 a-y(t)>0 und by(t)>0 b-y(t)>0 annehmen, da ansonsten die Reaktion endet.


Problem/Ansatz:

Also falls jemand einige ansätze für diese aufgabe hat wäre ich sehr dankbar. Ich finds sehr schwer mich da rein zu denken.

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Beste Antwort

Hallo,

a)  Fall b=a :

y'(t)=k (a-y)(a-y) =(a-y)2

dy/dt= k*(a-y)2

dy/((a-y)2) = k*dt

linkes Integral: z=a-y

1/(a-y)=k* t+C | Reziproke

a-y=1/(kt+C)

y= a -1/(kt+C)

c) für Fall b=a und b>a

limt \lim\limits_{t\to\infty} ( a -1/(kt+C))

kt +C ->∞

1/(kt+C) ->0

--->

limt \lim\limits_{t\to\infty} ( a -1/(kt+C)) =a

b) b>a

------->

a kann vernachlässigt werden=0

y'(t)=k (a-y)(b-y)

y'(t)= (-ky)(b-y)

dy/dt= (-ky)(b-y)

dy/((y(b-y)) =-k dt

(1/b) (ln|y| -ln|y-b|)= -kt +C

->nach y auflösen:

y= (-b C1 e^(-bkt))/(1 -C1 e^(-bkt)

Avatar von 121 k 🚀

was muss man nach use noch machen? Verstehe das nicht so ganz

also muss ich die jetzt ausrechnen die Klammern und habe das Ergebnis?

JA , siehe oben

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