x*wurzel(1/x) umformen nach 1/wurzel(1/x). Wie?

Question

Aufgabe:

Hi, ich verstehe leider die folgende Umformung nicht.

\( x \sqrt{\frac{1}{x}} \)

nach

\( \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x}}} \)

Könnte mir jemand sagen, welches Gesetz angewandt worden ist oder gibt es Zwischenschritte (Erweiterungen) damit man es besser nachvollziehen kann?

Answer 1

Aloha :)

$$x\cdot\sqrt{\frac{1}{x}}=(\,\sqrt x\,)^2\cdot\frac{1}{\sqrt x}=\sqrt x\cdot\underbrace{\sqrt x\cdot\frac{1}{\sqrt x}}_{=1}=\sqrt x=\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x}}}$$

oder vielleicht etwas schneller:

$$x\cdot\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{x\cdot\sqrt{\frac{1}{x}}\cdot\sqrt{\frac{1}{x}}}{\sqrt{\frac{1}{x}}}=\frac{x\cdot\frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x}}}$$