Die Konvergenzradien der Potenzreihen bestimmen!?

Question

Aufgabe:

Wie bestimme ich die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen
1. \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(k^{2}+2^{k}\right) z^{k} \)
2. \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{k}\right) z^{k} \)

im Voraus!

Answer 1

Formel von Cauchy-Hadamard anwenden:$$r=\frac{1}{\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{k^2+2^k}}=\frac{1}{\lim\limits_{k\to\infty}2\sqrt[k]{\frac{k^2}{2^k}+1}}=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}$$ Auf \(\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n}\right)z^k\) wendet man am besten das Quotientenkriterium an. Und gehst so ähnlich wie hier vor:

https://www.mathelounge.de/791644/konvergenz-radius-der-reihe-mit-2-summen