Modulo ist Äquivalenzrelation

Question

Aufgabe:

Für eine Abbildung h: X->Y von Mengen definieren wir durch x mod_h y :<=> h(x)=h(y) eine Relation "mod_h" auf X.

Erste Aufgabe:
Man muss zeigen, dass die Relation "mod_h" für jede Abbildung h eine Äquivalenzrelation

Äquivalenzrelation, wenn M reflexiv, tranisitiv und symmertrisch ist.

reflexiv: Wenn für alle a Element M: aRa, also a steht in Relation zu a bzw. zu sich selbst.

symmetrisch: Wenn für alle a, b Element M: aRb=>bRa, also a steht in Relation zu b und b steht in Relation zu a.

transitiv: Wenn für alle a, b, c Element M: aRb und bRc => aRc. Also wenn a in Relation zu b und b in Relation zu c steht dann steht a in Relation zu c.

Wie wende ich diese Eigenschaften an?

Comments

Ich muss dafür noch diese Teilaufgabe machen.

Ich verstehe aber nicht wie ich sie angehen muss, Folgendes muss ich zeigen:

Für jede Äquivalenrelation "~" auf einer Menge X existiert eine Menge Y zusammen mit der Abbildung f: X->Y, sodass "~" und modf übereinstimmen.
Könnte jemand mir vielleicht bitte einen Ansatz geben?

Answer 1

reflexiv: Wenn für alle a Element M: aRa, also a steht in Relation zu a bzw. zu sich selbst.  Das heißt hier: Du musst schauen, ob für alle a,b ∈ X gilt
a mod_h a . Das bedeutet nach der Definition h(a)=h(a).
Und weil Abbildungen immer eindeutig sind, ist dies erfüllt.

symmetrisch: Wenn für alle a, b Element M: aRb=>bRa, also a steht in Relation zu b und b steht in Relation zu a.

Wieder die Def. anwenden: h(a)=h(b) ==>  h(b)=h(a) 
           Das dürfte auch klar sein

transitiv: Wenn für alle a, b, c Element M: aRb und bRc => aRc. Also wenn a in Relation zu b und b in Relation zu c steht dann steht a in Relation zu c.

Wieder die Def. anwenden: h(a)=h(b)und h(b)=h(c) ==>  h(a) = h(c) Passt !