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Bildschirmfoto 2021-01-13 um 16.53.52.png


Hallo zusammen. Ich bin nun schon seit Stunden an diesen Aufgaben am verzweifeln. Mir ist bewusst das Aufgabe (ii) und (iii) auf (i) aufbauen, doch habe ich keine Ahnung wie ich bei (i) vorgehen soll, gar wie eine Rechnung dafür aussehen könnte da das ein komplett neues Thema für mich ist. Ich bitte wirklich um Hilfe und eine Erklärung für jemanden wie mich der das noch nie hatte :(. Vielen Dank im voraus und ich hoffe ihr könnt mir hier aushelfen...

vor von

3 Antworten

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Naja wie geht man denn bei linearen Abbildungen vor? Wenn du das weißt kannst du das auch ganz einfach selber ausrechnen

vor von

Also ich hätte die Frage nicht gestellt wenn ich es wüsste.

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Stelle die Matrix der Abbildung auf

\(\small A_0 \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}a11&a12\\a21&a22\\a31&a32\\\end{array}\right)\)

dann führe die Abbildung aus

\(\small \left\{ A_0 \; v_1 - w_1, A_0 \; v_2 - w_2 \right\} \)

das gibt ein LGS

\(\small\left(\begin{array}{r}3 \; a11 + 2 \; a12 - 1\\3 \; a21 + 2 \; a22\\3 \; a31 + 2 \; a32 - 4\\4 \; a11 + 3 \; a12 + 1\\4 \; a21 + 3 \; a22 - 1\\4 \; a31 + 3 \; a32 - 1\\\end{array}\right)=0  \)

das zu lösen ist...

vor von 11 k
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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

i) Bestimmung der Abbildungsmatrix.

Die Matrix \(A\) soll wie folgt wirken:$$\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}=A\binom{3}{2}\quad;\quad\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}=A\binom{4}{3}$$Beide Gleichungen können wir zu einer Matrizen-Gleichung zusammenfassen:$$A\begin{pmatrix}3 & 4\\2 & 3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\0 & 1\\4 & 1\end{array}\right)$$Damit können wir \(A\) berechnen:

$$A=\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\0 & 1\\4 & 1\end{array}\right)\begin{pmatrix}3 & 4\\2 & 3\end{pmatrix}^{-1}=\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\0 & 1\\4 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}3 & -4\\-2 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)$$

ii) Anwendung von \(L\) bzw. \(A\) auf \(\vec v_3\).

$$A\cdot\vec v_3=\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\binom{1}{-1}=\begin{pmatrix}12\\-5\\23\end{pmatrix}$$

iii) Bestimmung der Urbilder von \(\vec w_3\) und \(\vec w_4\).

Wir sollen die Urbilder \(\vec u_3\) und \(\vec u_4\) bestimmen, sodass:

$$\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\cdot\binom{u_{3,x}}{u_{3,y}}=\begin{pmatrix}3\\-1\\7\end{pmatrix}\quad;\quad\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\cdot\binom{u_{4,x}}{u_{4,y}}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$Wir haben hier zwei überbestimmte Gleichungssysteme mit je 3 Gleichungen und nur 2 Unbekannten. Das kann schief gehen, in dem Sinne, dass die beiden Unebkannten nicht alle 3 Gleichungen gemeinsam erfüllen. Das bedeutet, dass der angegebene Bildvektor nicht zum Wertebreich von \(L\) bzw. \(A\) gehört. Zur Berechnung fassen wir beide Gleichungen zu einer Matrix-Gleichung zusammen, lassen die letzte Gleichung weg, berechnen die beiden Unbekannten und prüfen am Ende, ob die erhaltenen Vektoren \(\vec u_3\) und \(\vec u_4\) tatsächlich auf die Vektoren abbilden.

$$\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}u_{3,x} & u_{4,x}\\u_{3,y} & u_{4,y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\-1 & 1\end{array}\right)\quad\implies$$$$\left(\begin{array}{rr}u_{3,x} & u_{4,x}\\u_{3,y} & u_{4,y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\-1 & 1\end{array}\right)$$$$\phantom{\left(\begin{array}{rr}u_{3,x} & u_{4,x}\\u_{3,y} & u_{4,y}\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{rr}3 & 7\\2 & 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\-1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}2 & 10\\1 & 7\end{array}\right)$$Wir finden also die potentiellen Urbilder:$$\vec u_3=\binom{2}{1}\quad;\quad \vec u_4=\binom{10}{7}$$Die abschließende Prüfung steht aber noch aus:

$$\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\binom{2}{1}=\begin{pmatrix}3\\-1\\7\end{pmatrix}=\vec w_3\quad\checkmark\quad;\quad\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\binom{10}{7}=\begin{pmatrix}1\\1\\9\end{pmatrix}\ne\vec w_4$$Der Vektor \(vec w_3\) hat das Urbild \(\vec u_3\). Der Vektor \(\vec w_4\) gehört nicht zur Bildmenge von \(L\) bzw. \(A\) und hat deswegen kein Urbild \(\vec u_4\).

vor von 55 k 🚀

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