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Aufgabe:

\( \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}} \) =\( \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{1+x^{2}}}} \) =\( \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x^{2}} \) 
Problem/Ansatz:

Stimmen die Umformungen und wenn ja was wurde dabei gemacht?

von

2 Antworten

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Aloha ;)

Willkommen in der Mathelounge...

Die Umformung ist super aufgepustet. Du kannst das eigentlich sofort hinschreiben. Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert:

$$\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}=1\cdot\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$$

Jetzt erkennst du auch, dass die Umformung nicht ganz korrekt ist, bei dir steht im Nenner ein \(X^2\).

Zu den Umformungen in dienem Posting...

$$\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{1+x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{1+x^2}}}$$Das \(x\) wurde zu \(\sqrt{x^2}\) umgeformt. Das ist die Stelle, an der wir \(x>0\) fordern müssen. Danach wurde \(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) verwendet, um den Bruch unter eine große Wurzel zu schreiben. Weiter gehts:

$$\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{1+x^2}}}=\frac{\sqrt{1^2}}{\sqrt{\frac{x^2}{1+x^2}}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\frac{x^2}{1+x^2}}}=\sqrt{\frac{1}{\frac{x^2}{1+x^2}}}=\sqrt{1\cdot\frac{1+x^2}{x^2}}=\sqrt{\frac{1+x^2}{x^2}}\ne\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}$$

Wieder wurde die Wurzel über den gesamten Quotienten geschrieben. Unter der Wurzel wurde dann durch den Bruch \(\frac{x^2}{1+x^2}\) dividiert, indem mit dem Kehrwert multipliziert wurde. Bis auf einen kleinen Bug am Ende, stimmen deine Umformungen.

von 57 k 🚀

Leider bezieht sich beim letzten Bruch beim Fragesteller die Wurzel nur auf den Zähler, nicht wie von dir angegeben auf den ganzen Bruch. Mit einem x im Nenner wäre es zum ersten Bruch richtig gewesen. Und für x>0 wäre alles ok.

\(x>0\) hatte ich auch schon erwähnt. Mir war aber irgendwie nicht aufgefallen, dass in der angegebenen Lösung im Nenner ein \(x^2\) statt eines \(x\) stand... Vermutlich weil ich im Hinterkopf noch mit unserem neuen Antwort-Troll beschäftigt war.

Danke dir für den Hinweis, ich habe was dazu ergänzt, damit hier nichts Falsches steht ;)

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\( \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}} \) =\( \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{1+x^{2}}}} \) 

Das x wurde unter die Wurzel als x^2 geholt, dabei gehen aber die Informationen über das Vorzeichen verloren, es stimmt also nur für x>0 für x=0 war die Funktion so wieso nicht definiert. Doch für x<0 ist der Bruch falsch.

\( \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{1+x^{2}}}} \) =\( \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x^{2}} \)

Diese Umformung stimmt nicht. Das x^2 im Nenner hätte ein x sein müssen, dann wäre die Umformung im Hinblick auf die Ursprungsform richtig, ich dividiere durch einen Bruch, indem ich mit dem Kehrwert multiplizieren.

von 9,4 k

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