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Aufgabe:

Berechnung des Matrix-Exponentials.

Verwenden Sie die Definition des Matrix-Exponentials als Reihe, um eA für die folgenden Matrizen A zu berechnen.


(a) \( A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right) \)


(b) \( A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & 0\end{array}\right) \)


(c) \( A=\left(\begin{array}{ll}0 & b \\ b & 0\end{array}\right), b \in \mathbb{R} \)


Hallo zusammen, könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :)

vor von

...                     .

1 Antwort

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Beste Antwort

Die Exponantialfunktion einer Matrix ist äquivalent zur Exponentialfunktion für reelle Zahlen definiert, also als $$ e^A = \sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!} $$ Das muss Du jetzt ausrechnen.

vor von 33 k

Hey, muss ich bis n rechnen oder?

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Bei der Diagonalmatrix solltest Du zeigen das gilt

$$ e^A =  \begin{pmatrix} e^{a_{11}} & 0 & 0 \\ 0 & e^{a_{22}} & 0\\ 0 & 0 & e^{a_{33}}   \end{pmatrix} $$

Wieso a11 , a22 und a33?

und wie kann ich das zeigen?

Also falsch was ich gemacht habe? Ich habe 2 Videos auf Youtube gesehen, in den der Weg von der Lösung so war..

In Aufgabe (a) hast Du eine Diagonalmatrix. Die Definition des Matrixexponentials ist

$$ e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac {A^n}{n!} $$ Weil \( A \) eine Diagonalmatrix ist, ist auch \( A^n \) eine Diagonalmatrix und damit auch \( \frac {A^n}{n!} \)

Die Summe von Matrizen ist die Summe der einzelnen Elemente in der Matrix, also z.B. für die Matrix \( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \) gilt

$$ \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{k=0}^n a_{11} & \sum_{k=0}^n a_{12} \\ \sum_{k=0}^n a_{21} & \sum_{k=0}^n a_{22} \end{pmatrix} $$

Bei Deiner Matrix kommt dann nach der Methode

$$ e^A = \begin{pmatrix} e^2 & 0 & 0 \\ 0 & e^{ \frac{1}{3} } & 0 \\ 0 & 0  & e^{-1} \end{pmatrix}  $$ raus.

In dem Fall muss man also gar nicht multiplizieren!

Ist die Lösung bei c) so?


Sicher nicht, weil \( \begin{pmatrix} 0 & b \\ b & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} b^2 & 0 \\ 0 & b^2 \end{pmatrix} \) ist und Du somit nicht immer den gleichen Typ von Matrix hast.

Ich würde die Eigenwerte ausrechnen und die Eigenvektoren. Dürfte nich schwer sein und das dann in die Exponentialreihe einsetzen.

Wenn gilt $$ A = T D T^{-1} $$ mit \( D \) ist eine Diagonalmatrix, dann folgt $$  e^A = T e^D T^{-1} $$ und wie \( e^D \) ausgerechnet wird, weisst Du ja.

was ist T?

Die Eigenvektore sind : v1 = \( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \)

v2 = \( \begin{pmatrix} -1\\1\\ \end{pmatrix} \) Ich habe jetzt nicht verstanden wo ich sie einsetzen soll..

Die Eigenvektoren sind die Spaltenvektoren der Matrix \( T \). Setzte diese da ein und berechne \( T^{-1} A T \) dass sollte dan eine Diagonalmatrix sein.

Vielen Dank für die Erklärung! ^_^

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