Beweis, dass die Abbildung genau dann linear ist, wenn die Teilmenge .... ein Untervektorraum ist

Question

Sei K ein Körper, f : K^m → Kⁿ eine Abbildung, und Γf ⊂ K^m × Kⁿ = K^m+n ihr Graph.
Beweisen Sie, dass die Abbildung f : K^m  → Kⁿ genau dann linear ist, wenn die Teilmenge
 Γf ⊂ K^m+n   ein Untervektorraum ist.

Wie soll ich das beweisen? Ich weiß nicht, wie ich vorgehen muss..

Comments

Du sollst eine Äuqivalenz zeigen, d.h. du hast zwei Richtungen zu zeigen:

1. \( f:K^m \rightarrow K^n~\text{linear} \Rightarrow Graph(f) \subset K^{m+n}~\text{ist UVR} \).

D.h. du nimmst an, dass \(f\) linear ist und zeigst dann, dass der Graph einen Untervektorraum bildet. Entsprechende Definitionen sind dir bekannt? Wenn nicht, sag bitte bescheid!

2. \( Graph(f)~\text{UVR} \Rightarrow \text{f linear} \)

D.h. du nimmst an, dass der Graph von \(f\) ein UVR ist und folgerst, dass \(f\) linear ist, d.h. du weist die Eigenschaften einer linearen Abbildung bei \(f\) nach. Sind dir diese bekannt??

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wie genau ist das zu beweisen ?

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Versuche doch bitte erst meine Fragen zu beantworten, damit du überhaupt weißt, was du genau zeigen sollst.

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sorry. nein die sind mir nicht bekannt deswegen frage ich ja !

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Wie erhofft man sich so eine Aufgabe zu lösen wenn man nicht mal die grundlegenden Definitionen kennt?

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Bei Schritt 1: dass der Graph einen Untervektorraum bildet, muss man doch diese drei Aussagen beweisen:

(i) Seien a,b ∈ U. Dann a+b=a+1*b ∈ U

(ii) Sei λ ∈ K, b ∈ U . Dann λ*b= 0+λ*b ∈ U

(iii)  0 ∈ U

Wie man diese Definition auf Teilmengen anwendet, ist mir bekannt z.B U ={(x,y,z)│ 3x+2y=-z}, aber was muss ich bei dieser Aufgabe genau machen??

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Muss man den Nullvektor beweisen? Der Nullvektor ist doch ein Unterfall von (ii) mit 0 als Skalar, oder?