Question

Entscheiden Sie abhängig vom Startwert a₀ ∈ ℝ, ob folgende rekursiv
definierte Folgen (a_n)n∈ℕ konvergieren und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Grenzwert:

a_n+1 := φ(a_n) := \( \sqrt{3+2|a_n|} \)   

Hinweis. Bestimmen Sie zunächst, welche möglichen Grenzwerte die Folgen überhaupt haben
können, und untersuchen Sie dann abhängig vom Startwert das Monotonieverhalten der Folgen.

Ich weiß hier leider gar nicht weiter...

Answer 1

Aloha ;)

Wir betrachten die rekursiv definierte Folge$$a_{n+1}=\sqrt{3+2|a_n|}\quad;\quad a_0\in\mathbb R$$Wegen $|a_0|\ge0$ gilt $a_1=\sqrt{3+2|a_0|}\ge\sqrt{3+0}=\sqrt3$.

0) Vorbetrachtung:

Unabhängig von $a_0$ ist also $a_1\ge\sqrt3$. Weiter gilt in Abhängigkeit vom Startwert $a_0$:$$|a_0|<3\implies a_1=\sqrt{3+2|a_0|}<\sqrt{3+2\cdot3}=\sqrt9=3$$$$|a_0|=3\implies a_1=\sqrt{3+2|a_0|}=\sqrt{3+2\cdot3}=\sqrt9=3$$$$|a_0|>3\implies a_1=\sqrt{3+2|a_0|}>\sqrt{3+2\cdot3}=\sqrt9=3$$Wir können also den Wert $a_1$ in Abhängigkeit von $a_0$ wie folgt einschränken:$$\begin{array}{c}\sqrt3\le a_1<3 &\text{falls}& |a_0|<3\\a_1=3 &\text{falls}& |a_0|=3\\a_1>3 &\text{falls}& |a_0|>3\end{array}$$Nach diesen Überlegungen reicht es, die vereinfachte Folge zu betrachten:$$a_{n+1}=\sqrt{3+2a_n}\quad;\quad a_1\ge\sqrt3\;\land\;a_1\ne3$$Der triviale Fall $|a_0|=3$ bzw. $a_1=3$ führt auf die konstante Folge $a_n=3$ mit Grenzwert $3$. Deswegen brauchen wir diesen im Folgenden nicht weiter zu betrachten.

1) Monotnie:

1. Fall $|a_0|<3$ bzw. $a_1<3$: Die Folge ist streng monoton wachsend.

Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion. Die Verankerung ist klar, denn:$$a_2=\sqrt{3+2a_1}>\sqrt{a_1+2a_1}=\sqrt{3a_1}>\sqrt{a_1\cdot a_1}=a_1\implies a_2>a_1$$Im Induktionsschritt können wir also annehmen, dass $a_{n+1}>a_n$ gilt:$$a_{n+1}>a_n\implies 3+2a_{n+1}>3+2a_n\implies a_{n+2}^2>a_{n+1}^2\implies a_{n+2}>a_{n+1}\quad\checkmark$$

2. Fall $|a_0|>3$ bzw. $a_1>3$: Die Folge ist streng monoton fallend.

Wir führen den Beweis wieder durch vollständige Induktion. Die Verankerung ist wie oben klar, denn:$$a_2=\sqrt{3+2a_1}<\sqrt{a_1+2a_1}=\sqrt{3a_1}<\sqrt{a_1\cdot a_1}=a_1\implies a_2<a_1$$Im Induktionsschritt können wir also annehmen, dass $a_{n+1}<a_n$ gilt:$$a_{n+1}<a_n\implies 3+2a_{n+1}<3+2a_n\implies a_{n+2}^2<a_{n+1}^2\implies a_{n+2}<a_{n+1}\quad\checkmark$$

Wir fassen zusammen:$$(a_n)\text{ ist }\left\{\begin{array}{lcl}\text{streng monoton wachsend} & \text{falls} & a_1<3\\\text{streng monoton fallend} & \text{falls} & a_1>3\end{array}\right.$$

2) Beschränktheit:

1. Fall $|a_0|<3$ bzw. $a_1<3$: Es gilt $a_1<a_n<3$

Die Folge ist streng monoton wachsend, daher ist $a_1\le a_n$ klar. Die Beschränkung nach oben $a_n<3$ zeigen wir mit vollständiger Induktion.

Verankerung: $a_2=\sqrt{3+2a_1}<\sqrt{3+2\cdot3}=\sqrt{9}=3\quad\checkmark$

Induktionsschritt: $a_{n+1}=\sqrt{3+2a_n}<\sqrt{3+2\cdot3}=\sqrt{9}=3\quad\checkmark$

2. Fall $|a_0|>3$ bzw. $a_1>3$: Es gilt $3<a_n<a_1$

Die Folge ist streng monoton fallend, daher ist $a_n<a_1$ klar. Die Beschränkung nach unten $3<a_n$ zeigen wir wieder mit vollständiger Induktion.

Verankerung: $a_2=\sqrt{3+2a_1}>\sqrt{3+2\cdot3}=\sqrt{9}=3\quad\checkmark$

Induktionsschritt: $a_{n+1}=\sqrt{3+2a_n}>\sqrt{3+2\cdot3}=\sqrt{9}=3\quad\checkmark$

Die Folge $a_n$ ist also sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt.

3) Grenzwert:

Jede monotone beschränkte Folge konvergiert, also auch $(a_n)$. Wegen der Grenzwertsätze und der Stetigkeit der Wurzelfunktion gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{3+2a_n}=\sqrt{3+2\cdot\lim\limits_{n\to\infty} a_n}$$Wir setzen $a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ ein:$$a=\sqrt{3+2a}\implies a^2=3+2a\implies a^2-2a-3=0\implies(a-3)(a+1)=0$$$$\implies a=3$$Da alle Folgenglieder bis auf $a_0$ positiv sind, kommt nur $a=3$ als Grenzwert in Betracht.

Die Folge $(a_n)$ konvergiert unabhängig von Startwert $a_0$ gegen $a=3$.

Comments

Viiielen Dank für die sehr ausführliche Antwort, hat mich wirklich gerettet :)