Question

Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion f(x) = x² + y² + z² unter der angegebenen Nebenbedingung.
x² + 2y² − z² = 4

Hallo Leute, ich hänge leider bei der Nebenbedingung. Laut Definition soll ja die Funktion nur noch von x abhängig sein. Heißt ich müsste ja die Nebenbedingung nach y^2+z^2 auflösen und in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Hier hänge ich aber komplett. Ich weiß nicht ob ich mich zu doof anstelle oder einfach etwas übersehe.

Den Rest bekomme ich dann alleine hin. Vielleicht kann mir ja aber einer helfen mit der Nebenbedingung klar zu kommen.

Answer 1

"Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion f(x) = x^2 + y^2 + z^2 unter der angegebenen Nebenbedingung.
x^2 + 2y^2 − z^2 = 4"

HB:  f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2

NB:     x^2 + 2y^2 − z^2 = 4  → y^2  = 2 - \( \frac{x^2}{2} \) +\( \frac{z^2}{2} \)

f(x,z) = x^2 +  2 - \( \frac{x^2}{2} \)  + \( \frac{z^2}{2} \) +  z^2

f(x,z) =\( \frac{1}{2} \) x^2  +  \( \frac{3}{2} \) z^2   +  2

Nach x abgeleitet:

f´(x,z)= x→   x=0

Nach z abgeleitet:

f´(x,z)= 3z→  z=0

y^2  = 2 - \( \frac{x^2}{2} \) +\( \frac{z^2}{2} \)

y^2=2  →  y_1= \( \sqrt[2]{2} \)  und   y_2=  - \( \sqrt[2]{2} \)

Art der Extremwerte 2. Ableitung > 0 → Minimum

min { x^2+y^2+z^2 | x^2 + 2y^2 − z^2 = 4} = 2     bei (x,y,z)=(0,- \( \sqrt[2]{2} \),0)

min { x^2+y^2+z^2 | x^2 + 2y^2 − z^2 = 4} = 2    bei (x,y,z)=(0, \( \sqrt[2]{2} \),0)

mfG

Moliets

Comments

Super. Vielen Dank.

Könntest du mir und Gustav vielleicht noch bei dieser Aufgabe helfen?

https://www.mathelounge.de/795121/bestimmen-lokalen-globalen-extrema-funktion-nebenbedingungen

Answer 2

Frag mal nach, ob es vielleicht ein Tippfehler ist und \( f(\vec{x}) \) oder \(f(x,y,z)\) heißen soll.