Es handelt sich nicht um eine Potenzreihe.
Daher gibt es keinen Sinn, ein Konvergenzkriterium für
Potenzreihen anzuwenden. Ebenso ist dann auch der Begriff
des Konvergenzradius fehl am Platze.
Ein ein komplexes \(z=x+iy\) mit \(x=Re(z), \; y=Im(z)\) ist
\(\frac{1}{n^z}=n^{-z}=\exp(-z\ln(n))=\exp(-(x+iy)\ln(n))=\)
\(=\exp(-x\ln(n))\cdot \exp(-iy\ln(n))\).
Damit ergibt sich
\(|\frac{1}{n^z}|=\exp(-x\ln(n))=\frac{1}{n^x}\).
Es ist bekannt, dass \(\sum \frac{1}{n^x}\) für \(x>1\) konvergiert, jedoch
für \(x\leq 1\) divergiert, d.h. unsere Reihe konvergiert absolut
in der Halbebene \(Re(z)>1\).
