Bestimme die Nullstellen mittels Substitution

Question

Aufgabe:

Bestimme die Nullstellen mittels Substitution

f₂(x)=x⁶+x³-6

Problem/Ansatz:

Wie rechne ich das aus?

mein Problem sind die x⁶ da ich dann x⁴ habe ...

Answer 1

Substituiere x³ = z und demzufolge x⁶ = z².

Answer 2

Substituiere mit \(z=x^3\).

Answer 3

Substituiere x³=z. Dann muss z²+z-6 berechnet werden und danach wieder resubstituiert werden.

Answer 4

Aloha :)

Finde zwei Zahlen mit Summe 1 und Produkt -6. Das leisten die Zahlen 3 und -2. Daher ist:

$$x^6+x^3-6=(x^3)^2+(x^3)-6=(\,x^3+3\,)(\,x^3-2\,)$$

Die Nullstellen finden wir also bei \(x^3=-3\) bzw. \(x=-\sqrt[3]{3}\) und bei \(x^3=2\) bzw. \(x=\sqrt[3]{2}\).

Answer 5

Nullstellen ohne Substitution, wenn nicht vorgegeben:

\(x^6+x^3-6=0\)

\(x^6+1x^3=6\)        \( x^6=(x^{3})^2 \)  Dann quadratische Ergänzung und Binom

\((x^3+ \frac{1}{2})^2  =6+(\frac{1}{2})^{2}=6,25 |±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x^3+ \frac{1}{2}=2,5 \)

\(x^3=2 \)

\(x_1=\sqrt[3]{2} \)

2.)

\(x^3+ \frac{1}{2}=-2,5 \)

\(x^3=-3\)

\(x_2=-\sqrt[3]{3} \)

Answer 6

f(x) = 0
x⁶ + x³ - 6 = 0

Subst. z = x³ und z² = (x³)² = x⁶

z² + z - 6 = 0

Löse die quadratische Gleichung z.B. mit quadratischer Ergänzung, Satz von Vieta, abc- oder pq Formel.

z = -3 ∨ z = 2

Resubstituiere und Löse dann nach x

x³ = -3 → x = - 3^(1/3) ≈ -1.442

x³ = 2 → x = 2^(1/3) ≈ 1.260