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Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f(x)=x2+x12x3+4x216x64 f(x)=\frac{x^{2}+x-12}{x^{3}+4 x^{2}-16 x-64}
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte der Funktion. Geben Sie im Falle eines uneigentlichen
Grenzwertes inf für \infty und minf für -\infty an.
limx4+f(x)= \lim \limits_{x \rightarrow-4^{+}} f(x)=
limx4f(x)= \lim \limits_{x \rightarrow-4^{-}} f(x)=

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Zähler: (x+4)(x-3)

Nenner: (x+4)(x²-16)

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Aloha :)

Wir betrachten links- und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion ff gegen (4)(-4).f(x)=x2+x12x3+4x216x64f(x)=\frac{x^2+x-12}{x^3+4x^2-16x-64}Im Zähler verwenden wir zur Faktorisierung den Satz von Vieta. Wir brauchen zwei Zahlen mit Summe 11 und Produkt (12)(-12). Das leisten die Zahlen 44 und (3)(-3).x2+x12=(x+4)(x3)x^2+x-12=(x+4)(x-3)Die Nullstellen des Zählers sind also (4)(-4) und 33. Da der Grenzwert für x4x\to-4 untersucht werden soll, probieren wir mal durch Einsetzen, ob der Nenner für x=4x=-4 zu null wird. Und siehe da, es passt. Wir können im Nenner also (x+4)(x+4) ausklammern:x3+4x216x64=x2(x+4)16(x+4)=(x216)(x+4)x^3+4x^2-16x-64=x^2(x+4)-16(x+4)=(x^2-16)(x+4)Mit der dritten binomischen Formel ist weiter (x216)=(x4)(x+4)(x^2-16)=(x-4)(x+4). Also gilt:f(x)=(x+4)(x3)(x+4)2(x4)=(x+4)(x3)(x+4)(x+4)(x4)=x3(x+4)(x4)f(x)=\frac{(x+4)(x-3)}{(x+4)^2(x-4)}=\frac{\cancel{(x+4)}(x-3)}{\cancel{(x+4)}(x+4)(x-4)}=\frac{x-3}{(x+4)(x-4)}Für x4x\to-4 sind (x3)(x-3) und (x4)(x-4) negativ. Damit gilt:limx4f(x)=;limx4f(x)=+\lim\limits_{x\nearrow-4}f(x)=-\infty\quad;\quad\lim\limits_{x\searrow-4}f(x)=+\infty

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f1(x) = (x2+x-12)/(x3+4x2-16x-64)x = -4Zoom: x(-8…1) y(-4…4)


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