Aloha :)
Wir betrachten links- und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion f gegen (−4).f(x)=x3+4x2−16x−64x2+x−12Im Zähler verwenden wir zur Faktorisierung den Satz von Vieta. Wir brauchen zwei Zahlen mit Summe 1 und Produkt (−12). Das leisten die Zahlen 4 und (−3).x2+x−12=(x+4)(x−3)Die Nullstellen des Zählers sind also (−4) und 3. Da der Grenzwert für x→−4 untersucht werden soll, probieren wir mal durch Einsetzen, ob der Nenner für x=−4 zu null wird. Und siehe da, es passt. Wir können im Nenner also (x+4) ausklammern:x3+4x2−16x−64=x2(x+4)−16(x+4)=(x2−16)(x+4)Mit der dritten binomischen Formel ist weiter (x2−16)=(x−4)(x+4). Also gilt:f(x)=(x+4)2(x−4)(x+4)(x−3)=(x+4)(x+4)(x−4)(x+4)(x−3)=(x+4)(x−4)x−3Für x→−4 sind (x−3) und (x−4) negativ. Damit gilt:x↗−4limf(x)=−∞;x↘−4limf(x)=+∞
Plotlux öffnen f1(x) = (x2+x-12)/(x3+4x2-16x-64)x = -4Zoom: x(-8…1) y(-4…4)