Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte der Funktion.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion $f(x)=\frac{x^{2}+x-12}{x^{3}+4 x^{2}-16 x-64}$
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte der Funktion. Geben Sie im Falle eines uneigentlichen
Grenzwertes inf für $\infty$ und minf für $-\infty$ an.
$\lim \limits_{x \rightarrow-4^{+}} f(x)=$
$\lim \limits_{x \rightarrow-4^{-}} f(x)=$

Answer 1

Zähler: (x+4)(x-3)

Nenner: (x+4)(x²-16)

Answer 2

Aloha :)

Wir betrachten links- und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion $f$ gegen $(-4)$.$$f(x)=\frac{x^2+x-12}{x^3+4x^2-16x-64}$$Im Zähler verwenden wir zur Faktorisierung den Satz von Vieta. Wir brauchen zwei Zahlen mit Summe $1$ und Produkt $(-12)$. Das leisten die Zahlen $4$ und $(-3)$.$$x^2+x-12=(x+4)(x-3)$$Die Nullstellen des Zählers sind also $(-4)$ und $3$. Da der Grenzwert für $x\to-4$ untersucht werden soll, probieren wir mal durch Einsetzen, ob der Nenner für $x=-4$ zu null wird. Und siehe da, es passt. Wir können im Nenner also $(x+4)$ ausklammern:$$x^3+4x^2-16x-64=x^2(x+4)-16(x+4)=(x^2-16)(x+4)$$Mit der dritten binomischen Formel ist weiter $(x^2-16)=(x-4)(x+4)$. Also gilt:$$f(x)=\frac{(x+4)(x-3)}{(x+4)^2(x-4)}=\frac{\cancel{(x+4)}(x-3)}{\cancel{(x+4)}(x+4)(x-4)}=\frac{x-3}{(x+4)(x-4)}$$Für $x\to-4$ sind $(x-3)$ und $(x-4)$ negativ. Damit gilt:$$\lim\limits_{x\nearrow-4}f(x)=-\infty\quad;\quad\lim\limits_{x\searrow-4}f(x)=+\infty$$

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f₁(x) = (x²+x-12)/(x³+4x²-16x-64)x = -4Zoom: x(-8…1) y(-4…4)