Grenzwert mithilfe l'hospital

Question

Aufgabe:

Ich soll den Grenzwert mithilfe von l'Hospital bestimmen:

lim_x→0  (e^3x − 3e^x + 2)/ (x² + x³)

Problem/Ansatz:

also ich weiß die Ableitungen, die benötigt man ja für l'Hospital

e^3x − 3e^x + 2 wird in der Ableitung zu e³-3e^x

x² + x³ wird in der Ableitung zu 2x + 3x²

^{stimmt das? und wie gehe ich dann weiter vor?}

Answer 1

Aloha ;)

Zur Grenzwertbildung kannst du Zähler und Nenner unabhängig voneinander ableiten, sofern sie differenzierbar sind, und wenn sie beide gegen \(0\) oder beide gegen \(\infty\) konvergieren. Hier gehen Zähler und Nenner für \(x\to2\) beide unabhängig voneinander gegen \(0\):

$$g\coloneqq\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{3x}-3e^x+2}{x^2+x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{3e^{3x}-3e^x}{2x+3x^2}$$

Immer noch gehen Zähler und Nenner für \(x\to0\) unabhängig voneinander gegen \(0\), sodass wir die Regel nochmal anwenden können:

$$g=\lim\limits_{x\to0}\frac{9e^{3x}-3e^x}{2+6x}=\frac{9-3}{2}=3$$

Answer 2

Text erkannt:

\( \equiv \quad \) GeoGebra Classid
\( f(x)=\frac{e^{3 x}-3 e^{x}+2}{x^{2}+x^{3}} \)
\( =P \)

Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{3 x}-3 e^{x}+2}{x^{2}+x^{3}} \rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{3 e^{3 x}-3 e^{x}}{2 x+3 x^{2}} \rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{9 e^{3 x}-3 e^{x}}{2+6 x} \rightarrow 3 \)