0 Daumen
187 Aufrufe

Aufgabe: Gegeben sei x(t)\( \begin{pmatrix} t\\t^2\\(t-1)^2 \end{pmatrix} \) für 0<t<1. Wann ist die Schnelligkeit am grössten, wann am kleinsten?


Problem/Ansatz:

Ich habe einmal abgeleitet und dann die Länge davon gleich Null gesetzt.

|x'(t)|= \( \sqrt{1^2+(2t)^2+(2t-2)^2} \) = 0

= 1+4t^2+4t^2-8t+4=0 -> Mitternachtsformel

8±\( \sqrt{(-8)^2-4*8*5} \) /16

=(8±\( \sqrt{64-160} \) /16 -> geht nicht!

was habe ich falsch gemacht? hätte ich nochmal ableiten müssen?

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Aus dem Ort \(\vec x(t)\) bestimmen wir die Geschwindigkeit \(\vec v(t)\) durch Ableiten$$\vec x(t)=\begin{pmatrix}t\\t^2\\(t-1)^2\end{pmatrix}\quad\implies\quad\vec v(t)=\begin{pmatrix}1\\2t\\2(t-1)\end{pmatrix}\quad;\quad 0<t<1$$

Der Betrag der Geschwindigkeit ist:$$v(t)=\sqrt{1^2+(2t)^2+(2(t-1))^2}=\sqrt{1+4t^2+4(t^2-2t+1)}=\sqrt{8t^2-8t+5}$$$$\phantom{v(t)}=\sqrt8\cdot\sqrt{t^2-t+\frac{5}{8}}=\sqrt8\cdot\sqrt{t^2-t+\frac{1}{4}+\frac{3}{8}}=\sqrt8\cdot\sqrt{\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{8}}$$

Man sieht jetzt schon, dass für \(t=\frac{1}{2}\) das Quadrat minimal wird und damit die Geschwindigkeit \(v(t)\):

$$v\left(t=\frac{1}{2}\right)=\sqrt8\cdot\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt3\to\text{Minimum}$$

Alternativ dazu könnte man auch die Ableitung von \(v(t)\) gleich null setzen:$$0\stackrel!=\frac{16t-8}{2\sqrt{8t^2-8t+5}}\implies t=\frac{1}{2}$$Dann muss man aber noch die zweite Ableitung bilden, um zu entscheiden, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt. Das haben wir uns durch die Umformung oben gespart.

Da die Differentialrechnung nur in offenen Intervallen angewendet werden kann, können weitere Extrema an den Rändern des Intervalls \(0<t<1\) auftreten. Wir prüfen das nach:$$v(0)=\sqrt8\cdot\sqrt{\frac{5}{8}}=\sqrt5\quad;\quad v(1)=\sqrt8\cdot\sqrt{\frac{5}{8}}=\sqrt5$$An den Rändern des Intervalls hat die Geschwindigkeit ihre Maxima.

~plot~ sqrt(8)*sqrt(x^2-x+5/8) ; [[0|1|0|3]] ~plot~

Avatar von 148 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community