Bei welcher Breite und Höhe ist der Materialverbrauch am kleinsten?

Question

Aufgabe:

Eine Streichholzschachtel soll eine Länge von 5 cm und ein Volumen von 20 cm³ besitzen. Bei welcher Breite und Höhe ist der Materialverbrauch am kleinsten?

Problem/Ansatz:

Ich habe bei dieser Aufgabe Probleme die Hauptbedinung und Nebenbedingung zu finden. Kann mir da bitte jemand weiterhelfen. Vielen Dank im voraus!

Answer 1

Hallo,

die Hauptbedingung ist der Materialverbrauch, also die Oberfläche, O = 2ab + 2bc + 2ac

Die Nebenbindung ist 5·b·c = 20

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank.

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Wie sind Sie darauf gekommen das die Oberfläche die HB ist?

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der Materialverbrauch am kleinsten?

Das, was am größten oder kleinsten werden soll, ist die Hauptbedingung.

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Aber warum kommen Sie auf die Oberfläche?

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Das Material einer Streichholzschachtel besteht aus Pappe. Diese Pappe bildet die Oberfläche der Schachtel.

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Ich habe eine skizze gemacht aber die macht keinen Sinn. Sorry für die vielen Fragen.

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Du kannst so lange fragen, bis du alles verstanden hast.

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Das ist sehr nett vielen Dank. Was genau setze ich in die NB ein und wie komme ich auf die Werte da?

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Bei Extremwertaufgaben sind oft zwei Variablen vorhanden. Die Nebenbedingung bietet die Möglichkeit, eine Variable durch die andere auszudrücken.

Hier war es die Information über das Volumen V = 20, berechnet mit a·b·c

eine Seite von 5 cm war vorgegeben, dafür habe ich a gewählt

Damit lautete die Formel \(20=5\cdot b\cdot c\), umgestellt nach c ergibt das

\(20=5\cdot b\cdot c\\c=\frac{4}{b}\)

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Alles klar und das dann in die HB einsetzen richtig?

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Genau, dann hast du dort nur noch eine Variable.

Von dieser Funktion bildest du dann die 1. Ableitung, setzt sie = 0 und löst nach b auf.

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Könntest du mir vieleicht zeigen wie das dann aussehen würde wenn ich das einsetze?

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Das sieht dann so aus:

\(O=2ab+2bc+2ac\\ =10b+2b\cdot \frac{4}{b}+10\cdot \frac{4}{b}\\ =10b+8+\frac{40}{b}\\ =10b+8+40b^{-1}\)

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Hallo silivia, du hast mir letztens wirklich gut bei einer Mathe aufgabe geholfen. Ich hab da wieder ein Problem mit einer Aufgabe. Könnte ich dich zu dieser was fragen?

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Wäre das möglich? Weil ich komme da wirklich nicht weiter? Das wäre mega nett.

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Klar, stell deine Frage ein, ich schaue sie mir an.

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Das ist mega lieb.

Hier ist die Aufgabe.

Aufgabe:

Die Umsatzentwicklung eines Unternehmens kann in den ersten acht Monaten des neuen Kalenderjahres durch den Graphen der Funktion f mit

f(x)= -0,0073*x⁶+0,2313*x5-2,576*x4+13,543*x³-33,033*x²+28,617*x+76,49

mit x Monaten und f(x) in Millionen € näherungsweise dargestellt werden.

a) Zeichnen Sie den Graphen der Umsatzentwicklung in ein geeignetes Koordinatensystem.

b) Zu welchem Zeitpunkt war der Umsatz am größten?

c) In welchem Monat war der Umsatzrückgang am stärksten?

d) In welchem Zeitraum betrug der Umsatz mehr als 80 Millionen Euro?


Problem/Ansatz:

Hallo, Was muss ich bei den einzelnen Teilaufgaben machen, was genau ist gefragt? Speziel was ist in a von mir verlagt worauf muss ich achten, was muss ich machen? Die Funktion ist auch ziemlich lang. Also wie man merkt bin ich verwirrt.

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Ah ja, die Frage habe ich eben gesehen. Ich melde mich wieder.

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Alles klar danke.

Answer 2

Nebenbedingung: 5·a·b=20 oder b=4/a

Zielfunktion O(a)=2·(ab+5a+5b)

Nebenbedingung in Zielfunktin eingesetzt:

O(a)=2·(4+5a+20/a)

O'(a)=10·\( \frac{a^2-4}{a^2} \).

Nullstelle der ersten Ableitung für a²-4=0.

Positive Lösung für a=2.

Dann ist auch b=2

Bei einer Breite von 2 cm und einer Höhe von 2 cm ist der Materialverbrauch am kleinsten.