Eine Funktion 4. Grades besitzt an der Stelle ...

Question

Aufgabe: Eine Funktion 4. Grades besitzt an der Stelle X1=0 eine Extremstelle und an der Stelle X2=-1 eine Sattelpunktstelle. Außerdem besitzt der Graph eine Funktion an der Stelle X3=-2 eine Tangente mit der Gleichung y= -24x-47

…

Problem/Ansatz:f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e

f´(0)=0

f´(-1)=0
f´´(-1)=0

x3= -2 → y=-24(-2)-47 → y=-73      Tangentenpunkt =>   T(-2/-73)

die genannten Bedingungen in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzt. Ich komme jedoch nach mehrmaliger Überlegung nicht auf das entgültige Ergebnis. Wahrscheinlich habe ich einen Fehler getan, kann mir jemand weiterhelfen? Grüße Cas…

Comments

f '(-2) = -24

f(-2) = (-24)(-2)- 47 = 48-47 = 1 -> T(-2/1)

Answer 1

Der Tangentenpunkt ist falsch T(-2|1).  Außerdem ist f '(-2)=-24.

Answer 2

Eine Funktion 4. Grades besitzt an der Stelle $x=0$ einen Extrempunkt und an der Stelle $x=-1$ einen Sattelpunkt. Außerdem besitzt der Graph eine Funktion an der Stelle $x=-2$ eine Tangente mit der Gleichung $y= -24x-47$

...an der Stelle $x=-1$ einen Sattelpunkt:
Wenn der Sattelpunkt auf der x-Achse liegt ist dort eine Dreifachnullstelle( bedeutet, dass dort eine waagerechte Tangente vorliegt und dass der Graph die x-Achse schneidet). Angebracht ist nun die Nullstellenform:
$f(x)=a[( x+1)^3(x-N)]+c$

c ist deshalb nötig, weil der y-Wert des Sattelpunktes nicht bekannt ist

...an der Stelle $x=-2$ ist eine Tangente mit der Gleichung $y= -24x-47$

$y(-2)= -24\cdot (-2)-47=1$  → Berührpunkt  B$(-2|1)$

Verwendung der Tangentensteigung:

$f'(x)=a[3( x+1)^2(x-N)+( x+1)^3]$

$f'(-2)=a[3( -2+1)^2(-2-N)+( -2+1)^3]=a[-7-3N]=-24$

$a=\frac{24}{7+3N}$

$f'(x)=\frac{24}{7+3N}[3\cdot( x+1)^2(x-N)+( x+1)^3]$

...an der Stelle $x=0$ einen Extrempunkt:

$f'(0)=\frac{24}{7+3N}[3\cdot( 0+1)^2(0-N)+( 0+1)^3]$

$f'(0)=\frac{24}{7+3N}[-3N+1]=0$

$N=\frac{1}{3}$

 $a=\frac{24}{8}=3$

$f(x)=3[( x+1)^3(x-\frac{1}{3})]+c$

Der Berührpunkt liegt bei B$(-2|1)$

$f(-2)=3( -2+1)^3(-2-\frac{1}{3})+c=1$

$c=-6$

$f(x)=3( x+1)^3(x-\frac{1}{3})-6$

Comments

In deinem Ansatz gehst du davon aus, dass f(x) eine dreifache Nullstelle auf der x-Achse hat. Das ist verkehrt. Du musst bei deinem Ansatz also zumindest noch einen Summanden hinzufügen dessen Wert du nicht kennst.

f(x) = a·(x + 1)³·(x - n) + c

Ich komme dabei auf: a = 3 ∧ c = -6 ∧ n = 1/3

Hierbei müsst du den y-Wert der Tangente auch mit benutzen, weil das ja die einzige y-Koordinate deiner Funktion ist, die du kennst.

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Warum berechnet Du nicht die richtige Lösung auf dem anderen Weg und vergleichst?

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Warum berechnet Du nicht die richtige Lösung auf dem anderen Weg und vergleichst?

Das hatt ich auch schon gemacht, kam dabei aber keine Lösung.

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Dank auch an Der_Mathecoach

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Warum postest diu deine Fragen unter "Antworten"? Da gehören sie nicht hin. Und mc hätte sie dir dann auch beantwortet, sogar noch lieber als hier.

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Hab es in meine Antwort eingefügt.

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Das war nicht meine Frage.

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Warum postest diu deine Fragen unter "Antworten"? Da gehören sie nicht hin. Und mc hätte sie dir dann auch beantwortet, sogar noch lieber als hier.

Mir ist das recht egal, ob es als Antwort oder als Kommentar als Frage steht. Aber da es eine Antwort sein sollte, passt das so eigentlich besser. Und jetzt ist es ja auch korrigiert.

Trotzdem finde ich es immer schön, wenn man das Niveau der Schüler berücksichtigt, die mit diesen Fragen behelligt werden. Diese Aufgaben werden normal direkt im Anschluss der Kurvendiskussion von ganzrationalen Funktionen gestellt. Bis dahin gibt es nur die 4 grundlegenden Ableitungsregeln, also keine Produkt- und Kettenregel, von denen hier Moliets Gebrauch macht.

Der übliche Weg ist normalerweise der über ein lineares Gleichungssystem.

Answer 3

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften
f'(0) = 0
f'(-1) = 0
f''(-1) = 0
f(-2) = t(-2) = 1
f'(-2) = t'(-2) = -24

Gleichungssystem
d = 0
-4a + 3b - 2c + d = 0
12a - 6b + 2c = 0
16a - 8b + 4c - 2d + e = 1
-32a + 12b - 4c + d = -24

Errechnete Funktion
f(x) = 3·x⁴ + 8·x³ + 6·x² - 7

Skizze
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f₁(x) = 3x⁴+8x³+6x²-7f₂(x) = -24x-47P(-2|1)P(-1|-6)P(0|-7)Zoom: x(-3…2) y(-20…20)