Wie kann man eine Wertetabelle bestimmen und was bedeutet bsw s(t) oder v(t)?

Question

Aufgabe:

Eine wichtige Anwendung der Ableitung einer Funktion findet sich nun bei Weg-Zeit-Funktionen \( s(t) \)
Es gelten die folgenden Zusammenhänge:
\( \begin{array}{c} \mathbf{s}^{\prime}(\mathbf{t})=\mathbf{v}(\mathbf{t}) \\ \mathbf{s}^{\prime \prime}(\mathbf{t})=\mathbf{v}^{\prime}(\mathbf{t})=\mathbf{a}(\mathbf{t}) \end{array} \)
Das bedeutet, dass die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion die Momentangeschwindigkeit \( \mathrm{v}(\mathrm{t}) \) beschreibt und die zweite Ableitung die Momentanbeschleunigung a(t) eines Körpers.

Beispiel: Steinwurf.
Ein Stein werde zum Zeitpunkt \( t=0 \) s mit einer Anfangsgeschwindigkeit von \( v_{0}=20 \) \( \mathrm{m} / \mathrm{s} \) senkrecht nach oben geworfen. Bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes gilt dann für die Flughöhe s des Steines:

\( s(t)=v_{0} \cdot t-\frac{g}{2} \cdot t^{2} \)

(Für die Erdbeschleunigung \( \mathrm{g} \) kann näherungsweise mit \( 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \) gerechnet werden)

(2) Erstelle eine Wertetabelle für \( \mathrm{s}(\mathrm{t}) \) für \( 0 \leq \mathrm{t} \leq 4 \mathrm{~s} \) mit der Schrittweite \( \Delta \mathrm{t}=0,5 \mathrm{~s} \).

(5) Welche Geschwindigkeit hat der Stein 1 Sekunde nach dem Abwurf?

(6) Stelle die Funktion v(t) graphisch im Intervall [0; 4] dar.

Problem/Ansatz:

Wie mache ich die Wertetabelle und was bedeut bsw v(t)

Answer 1

Wie mache ich die Wertetabelle

t	s(t)
0	ausrechnen gemäss Funktion 20 t - \( \frac{10}{2} \) t2
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4

was bedeut bsw v(t)

Das steht in der Aufgabenstellung, nämlich:

die Momentangeschwindigkeit \( \mathrm{v}(\mathrm{t}) \)

Answer 2

Beispiel für s, v , a
Ein Auto fährt auf der Autbahn mit konstant 100

v ( t ) = 100 km pro Stunde ( 100 km/h)
Die Strecke oder der Weg ist
s = v * t

Die Beschleunigung ist a = 0.

Steinwurf
Wert für t = 0.5
s ( t ) = v * t - 1/2 * g * t^2
s ( 0.5 ) = 20 * 0.5 - 1/2 * 10 * 0.5^2
s ( 0.5 ) = 10 - 1,25
s ( 0.5 ) = 8.75 m

( t | s )
( 0.5 | 8.75 )

Comments

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Das hilft mir auf jeden Fall weiter

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Geschwindigkeit und Beschleunigung
Wir haben bereits kennengelernt, dass die Ableitung einer Funktion \( \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) \) die Steigung (momentane Änderung) der Funktion \( \mathrm{f}(\mathrm{x}) \) angibt. Weiters wurde besprochen, wie diese Ableitung für wichtige Funktionen gebildet wird.
Eine wichtige Anwendung der Ableitung einer Funktion findet sich nun bei
Weg-Zeit-Funktionen \( s(t) \)
Es gelten die folgenden Zusammenhänge:
$$ \begin{array}{c} \mathbf{s}^{\prime}(\mathbf{t})=\mathbf{v}(\mathbf{t}) \\ \mathbf{s}^{\prime \prime}(\mathbf{t})=\mathbf{v}^{\prime}(\mathbf{t})=\mathbf{a}(\mathbf{t}) \end{array} $$
Das bedeutet, dass die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion die Momentangeschwindigkeit \( \mathrm{v}(\mathrm{t}) \) beschreibt und die zweite Ableitung die Momentanbeschleunigung a(t) eines Körpers.
Beispiel: Steinwurf.
Ein Stein werde zum Zeitpunkt \( t=0 \) s mit einer Anfangsgeschwindigkeit von \( v_{0}=20 \) \( \mathrm{m} / \mathrm{s} \) senkrecht nach oben geworfen. Bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes gilt dann für die Flughöhe s des Steines:
$$ s(t)=v_{0} \cdot t-\frac{g}{2} \cdot t^{2} $$
(1) Wie lautet die Weg-Zeit-Funktion für diesen Steinwurf? (Für die Erdbeschleunigung \( \mathrm{g} \) kann näherungsweise mit \( 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \) gerechnet werden)
(2) Erstelle eine Wertetabelle für \( \mathrm{s}(\mathrm{t}) \) für \( 0 \leq \mathrm{t} \leq 4 \mathrm{~s} \) mit der Schrittweite \( \Delta \mathrm{t}=0,5 \mathrm{~s} \).

(3) Bestimme die erste Ableitung von \( \mathrm{s}(\mathrm{t})=20 \mathrm{t}-5 t^{2} \).
(4) Was bedeutet s'(t)?
(5) Welche Geschwindigkeit hat der Stein 1 Sekunde nach dem Abwurf?
(6) Stelle die Funktion v(t) graphisch im Intervall [0; 4] dar.
(7) Welche Geschwindigkeit hat der Stein zum Zeitpunkt \( t=0 \) ?
(8) Bestimme die erste Ableitung von \( v(t)=20-10 t \) t.
(9) Was bedeutet v't)?
HÜ: Bis 26.1 .2021
Ein Stein wird aus einer Höhe von 2 Meter senkrecht nach oben geworfen. Für die Flughöhe des Steines gilt dann
$$ s(t)=2+v_{0} \cdot t-\frac{g}{2} \cdot t^{2} $$
Fragen \( 1-9 \) wie im Beispiel oben!

1) s(t) =20 m/s *0 -10/2 *0^2


3)s(t) =20t-5t^2
s(t) 20t-10t
5) 1 Sekunde nach dem Abwurf erreicht der Stein eine Geschwindigkeit von 100 m/s weil 20*1*10/2*1^2

7 )0s
8) v'(t) =-10
v(t) Momentangeschwindigkeit

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s ( t ) = v0 * t - g/2 * t^2
s ( t ) = 20 * t - 10/2 * t^2

3.)
s ´( t ) = 20 - 10*t

5.)
s ´(t ) = v ( t ) = 20 - 10*t
v ( 1 ) =  20 - 10*1 = 20 m/s

7.)
v ( t ) = 20 - 10*t
v ( 0 ) = 20 - 10*0 = 20 m/s = v0

8.)
Bestimme die erste Ableitung von v ( t)
v´( t) = a ( t ) = ( 20 - 10t) ´ = 10 m/s^2 = g

9) Was bedeutet v ´ ( t) ?
Ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit
und damit die Beschleunigung

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v ( 0 ) = 20 - 10*0 = 20 m/s = v0

Meinst du damit ,dass nach es nach 20 Sekunden erreicht wird

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(7) Welche Geschwindigkeit hat der Stein zum Zeitpunkt t=0 .

Es ist nach GESCHWINDIGKEIT bei t = 0 gefragt. Bei t 0 = hat der Stein nur die
Abwurfgeschwindigkeit v0 = 20 m/s Schau bitte immer nach den Einheiten. Da hapert es bei dir doch.