Flächenberechnung eines Gartens

Question

1. Ein rechtwinkliger Garten soll mit einer Seite an eine Mauer stoßen. Es stehen 120 m Zaun zur Verfügung. Berechne die maximale Gartengröße, die eingezäunt werden kann.

2. Ein rechtwinkliger Garten soll mit einer Seite an eine Mauer stoßen. Wie viel m Zaun werden mindestens benötigt um 100m² Garten einzuzäunen?

Answer 1

Fertige eine Skizze an und bezeichne die Seite des Gartens, die der Mauer gegenüberliegt mit y und die beiden anderen Seiten mit  x.

1.

Die verfügbare Länge des Zaunes ( 120 m ) muss dann wie folgt aufgeteilt werden: 

2 x + y = 120

Für den Flächeninhalt A des Gartens gilt dann:

A = x * y

Dieser soll maximal sein.

Löst man 2 x + y = 120 nach y auf, so erhält man

y = 120 - 2 x

Setzt man den Term 120 - 2 x für y in die Flächeninhaltsformel ein, so ergibt sich:

A ( x ) = x * ( 120 - 2 x ) = 120 x - 2 x ²

A ( x ) hat höchstens dort ein Maximum wo die Ableitung A ' ( x ) = 120 - 4 x den Wert Null annimmt, also:

120 - 4 x = 0

<=> 120 = 4 x

<=> x = 30

Wegen y = 120 - 2 x ergibt sich daraus:

y = 120 - 60 = 60

Da A ' ' ( x ) = - 4 kleiner als Null ist, liegt an der Stelle x  tatsächlich ein Maximum vor.

Der maximale Flächeninhalt ist:

A ( x ) = A ( 30 ) = 120 * 30 - 2 * 30 ² = 3600 - 1800 = 1800 m ²

oder auch:

A = x * y = 30 * 60 = 1800 m ²

2.

A = x * y = 100 <=> y = 100 / x

Z = 2 x + y -> minimal

y = A / x = 100 / x
Z ( x ) = 2 x + 100 / x -> minimal

Z ' ( x ) = 2 + 100 * ( - 1 / x ² ) = 2 - ( 100 / x ² ) = 0

<=> 2 = 100 / x ²

<=> 2 x ² = 100

<=> x ² = 50

<=> x = √ ( 50 )

=> y = 100 / x = 100 / √ ( 50 ) = 2 * √ ( 50 ) ² / √ ( 50 ) = 2 * √ ( 50 )

Z = 2 * x + y = 2 * √ ( 50 ) + 2 * √ ( 50 ) = 4 * √ ( 50 ) = 28,3 m

Es werden also mindestens 28,3 Meter Zaun benötigt, um 100 m ² Garten entlang einer Mauer abzuzäunen.