Sei \( f:] 1, \infty[\rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( f(x):=\ln (x) . \) Beweisen Sie die folgende Ungleichung
$$ x-1-\frac{(x-1)^{2}}{2}<\ln (x)<x-1, \text { fur } \left.x \in\right] 1, \infty[ $$
mit Hilfe des Monotoniekriteriums (die linke Ungleichung) und mit Hilfe des Mittelwertsatzes (die rechte Ungleichung).
