Zahlenbereich Z^3 tiefgestellt 3. Sind die angegebenen Vektoren linear unabhängig?

Question

Ich soll die Vektoren x₁ = (0 2 2) ,x₂ = (1 0 1) ,x₃ = (2 1 0) in ℤ³₃  über ℤ₃ auf lineare Unabhängigkeit überprüfen.

Jedoch kann ich mit  ℤ³₃ nichts anfangen, bzw. mit der tiefgestelten 3.

Ich hoffe ihr helft mir auf die sprünge

Answer 1

ℤ₃ ist der Restklassenring über der 3, das heißt die Menge {0, 1, 2} mit der Eigenschaft,

a+b = (a+b) mod 3

Wobei mod 3 den Rest bei Teilung durch 3 bedeutet.

Also sind z.B.

2+1 = 0

2+2 = 1

Und so weiter.

Um die lineare Unabhängigkeit zu prüfen, kann man z.B. eine Matrix aus den Vektoren machen und sie auf Stufennormalform bringen:

$$ \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 2 } & { 2 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 2 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 2 } & { 2 } \\ { 2 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 2 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 2 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { r r r } { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) $$

Da eine Nullzeile entstanden ist, sind die Vektoren nicht linear unabhängig.

Eine andere Möglichkeit das zu zeigen, ist die Folgende:

Du machst ein Gleichungssystem der Form

kx₁+lx₂+mx₃ = 0

Und suchst nach Lösungen (k, l, m)

Erstmal kann man durch -m teilen und die reduzierten Lösungen für

ax₁+bx₂ = x₃

suchen.

Damit erhält man das Gleichungssystem (für jede Koordinate einzeln)

a*0 + b*1 = 2

a*2 + b*0 = 1

a*2 + b*1 = 0

_______________

b = 2

2a = 1

2a + b = 0

_______________

Jetzt muss man noch beachten, dass man sich in der 3-er-Restklasse befindet.

Da wird die zweite Gleichung gelöst durch a = 2, denn (2+2) mod 3 = 4 mod 3 = 1

Und die erste Gleichung durch b = 2.

Eingesetzt in die dritte Gleichung erhält man:
(2*2 + 2) mod 3 = (4+2) mod 3 = 6 mod 3 = 0

Als lässt sich das Gleichungssystem lösen, man sagt, man hat eine "nichttriviale 0 kombiniert". Die Vektoren sind also linear abhängig.

Comments

Mal angenommen ich habe die Vektoren 

[0, 2, 2], [1, 0, 1], [2, 1, 0]

Dann sind die linear Unabhängig wenn das Spatprodukt 0 ist.

[0, 2, 2] ⨯ [1, 0, 1] ⋅ [2, 1, 0] = 6

Wenn es also normale Vektoren wären, sind sie nicht abhängig.

Betrachtet man es jetzt in der Resteklasse 3 dann könnte ich doch auch theoretisch das Spatprodukt mod 3 rechnen. Da es dann 0 ist sind sie dann linear abhängig oder mache ich dann einen Fehler?

 

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@Mathecoach: Ich vermute Julian Mi wollte am Schluss auch linear abhängig schreiben. Er hat ja die Vektoren auf nicht triviale Weise kombiniert. Zudem lieferte auch die erste Variante lineare Abhängigkeit.

mE sollte die Methode mit dem Spatprodukt (allgemeiner: Determinante) auch modulo 3 funktionieren. Nur, wenn man das erst noch zeigen muss, rechnet man vielleicht besser einfach durch.

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Richtig, ich habs korrigiert.

Naja, ich hab jetzt mal als gegeben angenommen, dass

(x+y) mod 3 = (x mod 3 + y mod 3) mod 3

und

(x*y) mod 3 = ((x mod 3) * (y mod 3)) mod 3

bekannt sind.

Damit folgt auch, dass die Spatproduktsprüfung funktioniert, weil man das Modulo bilden einfach ganz herausziehen kann.

Die beiden Dinge sind aber leicht zu beweisen:
 

1.) Wenn x mod 3 = r gilt, dann existiert ein k aus ℕ mit der Eigenschaft:
x = k*3 + r

Ebenso folgt mit y mod 3 = q

y = n*3 + q

Bildet man nun die Summe

(x+y) mod 3 = (k*3 + n*3 + r + q) mod 3 = (3*(n+k) + (r+q)) mod 3

Dann steht in den Klammern eine Zahl z = 3*j + p mit j ∈ ℕ. Also

z mod 3 = p mod 3 = (r + q) mod 3 = (x mod 3 + y mod 3) mod 3, q.e.d

2.) Bildet man das Produkt:
(x*y) mod 3 = (9*kn + 3*kq + 3*nr + rq) mod 3 = (3*(3kn+kq+nr) +rq)
Dann funktioniert die gleiche Argumentation wie eben:
z = m*3 + s, m = (3kn +kq+nr) ∈ ℕ

z mod 3 = (m*3 + s) mod 3 = s mod 3 = (r*q) mod 3 = ((x mod 3)*(y mod 3)) mod 3, q.e.d.